Chương trình toán học lớp 11 bao gồm chuyên đề quan trọng về hai mặt phẳng vuông góc. Vậy cụ thể hai mặt phẳng vuông góc là gì? Tính chất 2 mặt phẳng vuông góc? Chuyên đề và bài tập 2 mặt phẳng vuông góc như nào?… Trong bài viết cụ thể dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu nhé!

Chuyên đề hai mặt phẳng vuông góc

Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc là gì? 

Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì góc giữa chúng bằng \(90^{\circ}\).

\((P)\perp (Q)\Leftrightarrow (\widehat{(P),(Q)})=90^{\circ}\)

Điều kiện để 2 mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi trong mặt phẳng này và có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

\(\left\{\begin{matrix} d& \perp (Q)& \\ d&\subset (P) & \end{matrix}\right. \Rightarrow (P)\perp (Q)\).

chuyên đề hai mặt phẳng vuông góc

Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

  • Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất  cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

\(\left\{\begin{matrix} (P) &\perp (Q) & \\ a & \subset (P) & \\ (P) & \cap (Q)= & b\\ a&\perp b& \end{matrix}\right. \Rightarrow a\perp (Q)\)

  • Nếu hai mặt phẳng (P), (Q)  vuông góc với nhau và thì đường thẳng a qua A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).

\(\left\{\begin{matrix} (P) &\perp (Q) & \\ A& \in (P) & \\ A& \in & a\\ a&\perp (Q)& \end{matrix}\right. \Rightarrow a\subset (P)\)

tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

  • Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

\(\left\{\begin{matrix} (P) &\cap (Q) =a& \\ (P)& \perp (R) & \\ (Q)& \perp (R) & \\ \end{matrix}\right. \Rightarrow a\perp (R)\).

ví dụ hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng vuông góc trong không gian Oxyz

Phương trình tổng quát mặt phẳng trong không gian Oxyz

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz có dạng:

\(Ax + By + Cz + D = 0\)

với \(A^{2}+B^{2}+C^{2}> 0\)

Do đó muốn viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta phải cần xác định được 2 dữ kiện:

  • Điểm M bất kì mà mặt phẳng đã đi qua
  • Vector pháp tuyến của mặt phẳng

Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc trong không gian Oxyz 

Cho 2 mặt phẳng \((P): Ax + By + Cz + D = 0\)\( (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0\)

thì ta có 2 mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: \(AA’+BB’+CC’+DD’=0\).

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau 

  • Cách 1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
  • Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng là \(90^{\circ}\).

Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\)

  • Cách 1: Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến (nếu có) của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng này.
  • Cách 2: Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau, khi một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Kết  quả:

  • \(S’=Scos \varphi\)
  • Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, điểm A thuộc mặt phẳng (P) thì mọi đường thẳng qua A và vuông góc với (Q) đều nằm trong (P).

Các dạng bài tập hai mặt phẳng vuông góc 

Bài tập hai mặt phẳng vuông góc cơ bản 

Cho hình chóp\(S_{ABC}\) có đáy ABC là tam giác vuông tại B, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Chứng minh rằng: \((SAB) \perp (SBC), (AHK) \perp (SBC)\).

Cách giải:

  • Chứng minh \((SAB) \perp (SBC)\):

Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau, ta chứng minh trong mặt phẳng này có 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Ta có: Tam giác ABC vuông tại B \(\Rightarrow AB\perp BC (1)\).

\(SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp BC (2)\).

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow BC \perp (SAB), BC \subset (SBC) \Rightarrow\) \((SAB) \perp (SBC)\)

(đpcm).

  • Chứng minh\((AHK) \perp (SBC)\):

Ta có: \(BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp AH (3)\).

H là hình chiếu vuông góc của A (gt) \(\Rightarrow SB \perp AH(4)\).

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow AH \perp (SBC), AH \subset (AHK) \Rightarrow (AHK) \perp (SBC)\) (đpcm).

bài tập hai mặt phẳng vuông góc

Bài tập hai mặt phẳng vuông góc trong không gian

Bài 4 SGK toán 11 2 mặt phẳng vuông góc 

Cho hai mặt phẳng\(\Delta\) và \((\beta )\) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Chứng minh rằng nếu có một đường thẳng \(\Delta\) nằm trong \(\Delta\) và \(\Delta\)  vuông góc với d thì \(\Delta\) vuông góc với \((\beta )\).

Cách giải:

 Ta có: 

\(\left\{\begin{matrix} \Delta &\subset & (\alpha )\\ \Delta & \perp &d \end{matrix}\right. \Rightarrow \Delta \cap d =\left \{ A \right \}\)

Từ A, kẻ đường thẳng a: \(\left\{\begin{matrix} a &\in & (\beta )\\ a & \perp &d \end{matrix}\right.\)

Do \((\alpha )\perp (\beta )\Rightarrow (\widehat{(\alpha ),a})=90^{\circ}\) hay \(\Delta \perp d\)

Từ đó suy ra: \(\Delta \perp (d,a)\) hay \(\Delta \perp (\beta )\)

tổng hợp kiến thức hai mặt phẳng vuông góc

Như vậy, bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề hai mặt phẳng vuông góc. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm >>> Hai mặt phẳng song song: Định nghĩa, Tính chất và Các dạng bài tập 

Xem thêm >>> Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Lý thuyết và Các dạng bài tập

Please follow and like us:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *