Số thực là một tập hợp các số bao gồm số âm, 0, số dương, số vô tỉ và số hữu tỉ. Ở bài viết này, bạn sẽ biết được số thực là gì, tính chất cũng như một số loại bài tập phổ biến nhất liên quan đến số thực.
1. Số thực là gì?
Trong tiếng Anh là Real numbers, số thực là một tập hợp bao gồm số âm, số 0, số dương, số hữu tỉ và số vô tỉ. Có thể xem số thực là các điểm ở trên trục số dài vô tận.
Thông thường, số thực được miêu tả một cách không chính thức dưới dạng nhiều phương thức khác nhau. Tuy vậy, theo định nghĩa trong toán học, một số thực là một giá trị của một đại lượng liên tục, nó có thể được biểu thị một khoảng cách dọc theo một đường thẳng.
Kí hiệu của tập hợp số thực là R, (R= Q U I).
Một số thực có thể là số siêu việt hoặc số đại số. Ngoài ra, số thực cũng có loại số thực dương và số thực âm.
Bên cạnh số hữu tỉ và số vô tỉ, số nguyên và số tự nhiên cũng đều thuộc tập hợp số thực. Như vậy, có thể thấy số thực là tập hợp số lớn nhất và được xem là một hệ thống đại số đồ sộ.
Không nói đến số 0 ở vị trí trung tâm của trục số, tất cả những số thực khác đều có thể là số dương hoặc số âm. Về bản chất, tập hợp số thực R cũng như các tập con khác, cũng là các tập hợp số vô hạn. Thế nhưng, số lượng số thực là không đếm được bởi quy mô của tập hợp này là quá lớn.
Khái niệm về số thực xuất hiện lần đầu tiên vào thế kỷ 17 bởi nhà toán học René Descartes người Pháp. Ông dùng khái niệm này để biểu thị các giá trị nghiệm của đa thức và phân biệt với các nghiệm ảo. Thế nhưng, mãi tới năm 1871, khái niệm chính xác nhất và được dùng cho đến hiện nay là định nghĩa số thực mới được công bố bởi nhà toán học Georg Cantor.
2. Những số nào là số thực?
Số thực bao gồm:
Số nguyên Z, là những số như …-2, -1, 0, 1, 2, 3…
Số tự nhiên N, là những số như 0, 1, 2, 3, 4,…
Số vô tỉ I, là những số thập phân vô hạn không tuần hoàn, ví dụ như số pi, √2.
Số hữu tỉ Q, là tập hợp những số x = a/b, trong đó a, b thuộc tập hợp Z và b ≠0.
3. Tính chất và thuộc tính của số thực là gì?
Tính chất của số thực:
- Tích hoặc tổng của 2 số thực không âm là một số thực không âm
- Ngoại từ số 0, số thực nào cũng sẽ là số dương hoặc số âm
- Số thực có hệ thống tập hợp con vô hạn
- Là tập hợp vô hạn các số vô cùng, nhiều không đếm được
- Có thể biểu thị số thực bằng biểu diễn thập phân
- Có thể dùng số thực để thể hiện phép đo đại lượng liên tục
Thuộc tính của số thực
- Thuộc tính cận trên thấp nhất: Tập hợp một số thực không trống có giới hạn trên, nó sẽ có cận trên chính là những số thực nhỏ nhất.
- Thuộc tính có trường có thứ tự: Các số thực gồm 1 trường, với phép nhân và phép cộng cùng với phép chia cho các số khác 0. Chúng có thể được sắp xếp trên 1 trục số hoành, theo cách tương thích với phép nhân và phép cộng.
4. Tập hợp các số thực
Tập hợp các số thực bao gồm: N, Z, Q, I, R
Bên cạnh đó, một số thực còn có thể là số siêu việt hay số đại số. Tập hợp số thực là tập hợp con của số phức x = a +bi, trong đó hệ số b=0.
Trục số thực
Mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực, hay mỗi số thực đều sẽ được biểu diễn bởi một điểm trên trục số. Trục số chỉ có thể được lấp đầy bởi tập hợp số thực.
Cần chú ý rằng tập hợp số thực cũng có định nghĩa những phép toán cộng trừ, nhân chia, căn bậc hay hay lũy thừa. Bởi vậy, trong tập hợp các số thực, các phép toán cũng có các tính chất giống với các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ.
5. Một số dạng bài tập về số thực hay gặp nhất
Dạng bài tính giá trị của một biểu thức nào đó
Cách làm:
- Rút gọn các phân số nếu cần thiết
- Phối hợp các phép tính cộng trừ nhân chia hay lũy thừa. Thế nhưng, cần phải chú ý đến thứ tự ưu tiên phép tính nào trước
- Chú ý vận dụng các tính chất phép toán sao cho phù hợp
Dạng bài tìm số thực trong một đẳng thức nào đó
Cách làm:
- Dùng đến quy tắc phá ngoặc, chuyển vế
- Dùng từ tính chất của các phép toán
- Sử dụng quan hệ giữa các số hạng trong một hiệu và một tổng. Đó là quan hệ giữa số bị chia, số chia và thương của phép chia hay quan hệ giữa các thừa số trong một tích
Dạng bài câu hỏi về tập hợp số
Phương thức sử dụng
- Nhớ rằng N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; I ⊂ R.
Ký hiệu của các tập hợp số như sau:
- Tập hợp số tự nhiên: N
- Tập hợp số nguyên: Z
- Tập hợp các số hữu tỉ: Q
- Tập hợp các số vô tỉ: I
- Tập hợp các số thực: R
Dạng bài so sánh các số thực với nhau
Áp dụng kiến thức sau:
- Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm, số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương
- Số 0 không phải số thực âm, cũng không phải số thực âm, mà nó là một số thực
- Với 2 số thực bất kỳ x, y thì ta luôn có x < y, x < y hoặc x = y
- Việc so sánh các số thực dương hay số thực âm cũng giống với khi so sánh các số hữu tỉ với nhau
Số thực là một hệ thống đại số khổng lồ, và là một tập hợp số lớn nhất trong toán học. Bài viết trên đây là những kiến thức tổng quan về tập hợp số thực R, nhờ đó, bạn đọc có thể hiểu hơn về khái niệm số thực cũng như tính chất và thuộc tính của số thực. Hy vọng rằng một số dạng bài tập liên quan đến số thực đã gợi ý ở trên sẽ cẩm nang thêm cho bạn để bạn luyện tập được nhuần nhuyễn hơn và làm tốt bài tập hơn.
