lý thuyết về sự tương giao của đồ thị hàm số

Sự tương giao của đồ thị hàm số là một dạng toán thường gặp trong các bài toán hàm số thi THPT Quốc gia. Vậy sự tương giao của đồ thị hàm số là gì? Kiến thức về sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương? Tương giao của đồ thị hàm số hữu tỉ? Cách giải nhanh toán tương giao đồ thị?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chuyên đề này, cùng tìm hiểu nhé!. 

Sự tương giao của đồ thị hàm số là gì?

Cho hai hàm số \( f(x) \) và \(  g(x)\) xác định trên \(\mathbb{K}\) và có đồ thị lần lượt là \((C_1);(C_2)\). Khi đó, tương giao của đồ thị hàm số \(  f(x) \) và \( g(x) \) là vị trí tương đối của \( (C_1) \) và \( (C_2) \). Có \( 2 \) trường hợp có thể xảy ra:

  • Trường hợp 1: \( (C_1); (C_2) \) cắt nhau \(\Leftrightarrow\) phương trình \( f(x) =g(x) \) có nghiệm. Nghiệm của phương trình chính là hoành độ của giao điểm. Lúc này phương trình có bao nhiêu nghiệm thì hai đồ thị có bấy nhiêu điểm chung.

lý thuyết về sự tương giao của đồ thị hàm số

  • Trường hợp 2: \( (C_1); (C_2) \) không cắt nhau. \(\Leftrightarrow\) phương trình \( f(x) =g(x) \) vô nghiệm.

tìm hiểu kiến thức sự tương giao của đồ thị hàm số

Tìm tọa độ giao điểm trong sự tương giao của hai đồ thị 

Trong phương pháp tìm tọa độ giao điểm giải bài toán tương giao của hai đồ thị hàm số, ta cần lưu ý như sau:

Cho hai hàm số có đồ thị lần lượt là \( (C) ; (C’) \)

  • Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của \( (C) \) và \( (C’) \)
  • Bước 2: Giải phương trình tìm \( x \). Giá trị của \( x \) là hoành độ của giao điểm
  • Bước 3: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của \( (C) \) và \( (C’) \)

Lý thuyết sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 2

Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 2 là gì? 

Cho hàm số bậc hai \( y=ax^2 +bx +c \) với \( a \neq 0 \) có đồ thị là Parabol \( (P) \) và đường thẳng \((d): y=mx+n \). Khi đó, xét phương trình \( ax^2+bx+c=mx+n \) ta có:

  • Nếu phương trình vô nghiệm \(\Rightarrow (P) ;(d) \) không cắt nhau.
  • Nếu phương trình có một nghiệm kép \( x=x_0 \) thì \(\Rightarrow (P) ;(d) \) cắt nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ là \( x_0 \)
  • Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt \( x_1;x_2 \) thì  \(\Rightarrow (P) ;(d) \) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \( x_1;x_2 \)

***Chú ý: Để giải quyết bài toán tương giao đồ thị hàm số bậc 2 thì ta cần sử dụng định lí Viet: Nếu \( x_1;x_2 \) là hai nghiệm của phương trình \( y=ax^2+bx+c=0 \) thì ta có \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1.x_2=\frac{c}{a} \end{matrix}\right.\)

Ví dụ sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 2

Ví dụ: Cho hàm số \( y=x^2+kx+k \) với \( k \in \mathbb{R} \) và đường thẳng \( y=-x \). Tìm giá trị của \( k \) để đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ đều dương

Cách giải:

Hoành độ giao điểm của hai hàm số là nghiệm của phương trình :

\( x^2-kx+k=-x \Leftrightarrow x^2+(k+1)x+k=0 \;\;\;\;(1) \)

Để đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình \( (1) \) phải có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta = (k+1)^2-4k >0 \Leftrightarrow (k-1)^2 >0 \Leftrightarrow k \neq 1\)

Để hoành độ hai giao điểm đều dương thì :

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2>0\\ x_1.x_2>0 \end{matrix}\right.\)

Theo định lý Viet ta có :

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=k+1\\ x_1.x_2=k \end{matrix}\right.\)

Vậy \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k+1>0\\ k>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow k>0\)

Như vậy để đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ đều dương thì \( k>0 | k \neq 1 \)

Lý thuyết sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương

Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương là gì?

Cho hàm số trùng phương \( ax^4 +bx^2+c =0 \) với \( a \neq 0 \) có đồ thị \( (P) \) và đường thẳng \( (d): y=k \). Khi đó tương giao của \( (P);(d) \) như sau :

Xét phương trình: \( ax^4+bx^2+(c-k) =0 \;\;\;\;\; (1) \)

\( \Delta = b^2-4a(c-k) \)

  • \( (P),(d) \) có một giao điểm \( \Leftrightarrow \) Phương trình \( (1) \)  có 1 nghiệm \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c-k=0\\ \frac{b}{a} \leq 0 \end{matrix}\right.\) và nghiệm đó \( = 0 \)
  • \( (P),(d) \) có hai giao điểm \( \Leftrightarrow \) Phương trình \( (1) \)  có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta =0 \\\frac{b}{a} <0 \end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} \Delta >0 \\\frac{ c-k }{a} <0 \end{matrix}\right.\)
  • \( (P),(d) \) có ba giao điểm \( \Leftrightarrow \) Phương trình \( (1) \)  có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c-k =0 \\\frac{b}{a} <0 \end{matrix}\right.\) và trong đó có một nghiệm \( = 0 \)
  • \( (P),(d) \) có bốn giao điểm \( \Leftrightarrow \) Phương trình \( (1) \) có 4 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta >0 \\ \frac{b}{a} <0 \\ \frac{ c-k }{a} >0 \end{matrix}\right.\). Khi đó tổng \( 4 \) nghiệm \( =0 \) và tích \( 4 \) nghiệm bằng \(\frac{ c-k }{a}\)
  • \( (P),(d) \) không có giao điểm \( \Leftrightarrow \) Phương trình \( (1) \)  vô nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta <0\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0 \\\frac{b}{a} >0 \\ \frac{ c-k }{a} <0 \end{matrix}\right.\)

***Lưu ý: Các công thức trên đây sẽ giúp bạn giải nhanh các bài toán tương giao đồ thị hàm số trùng phương trắc nghiệm. Tuy nhiên bạn cần nắm cách giải phương trình trùng phương để có thể vận dụng một cách linh hoạt trong các bài toán!.

Xem thêm >>> Phương trình trùng phương: Lý thuyết, Cách giải, Các dạng bài tập

Ví dụ sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương

Ví dụ: Cho hàm số \( y=x^4-(3m+2)x^2+3m \) có đồ thị \( (C) \). Tìm giá trị của \( m \) để đường thẳng \( d: y=-1 \) cắt \( (C) \) tại bốn điểm phân biệt và hoành độ của bốn điểm đó đều \( <2 \)

Cách giải:

Xét phương trình \( x^4-(3m+2)x^2+3m =-1 \;\;\;\;\; (1) \)

Đặt \( t=x^2 \) với \( t \geq 0 \). Thay vào ta được phương trình : \( t^2-(3m+2)t +3m+1=0 \;\;\;\;\;(2)\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t=1\\ t=3m+1\end{array}\right.\)

Để \( (C) \) cắt \( d \) tại bốn điểm phân biệt thì phương trình \( (1) \) phải có \( 4 \) nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \) phương trình \( (2) \) phải có \( 2 \) nghiệm phân biệt \( \neq 0 \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3m+1 \neq 1\\ 3m+1 \neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m \neq 0\\ m \neq -\frac{1}{3} \end{matrix}\right.\)

Để hoành độ của bốn giao điểm đều \( <2 \) thì \( 0 < t^2 = 3m+1 <4 \)

\(\Leftrightarrow m<1\)

Vậy kết hợp, ta được điều kiện của \( m \) là :

\(m \in (-\frac{1}{3};1)| m\neq 0\)

Lý thuyết sự tương giao của đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ

Sự tương giao của đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ là gì?

Cho hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) với \( ad-bc \neq 0 \) có đồ thị \( (C) \) và đường thằng \( d: mx+n \). Khi đó tương giao của \( (C) \) và \( d \) như sau :

Xét phương trình \(\frac{ax+b}{cx+d} = mx +n\)

Quy đồng rút gọn đưa phương trình về dạng : \( Ax^2+Bx+C =0 \;\;\;\; (1) \) với \(x \neq -\frac{d}{c}\)

Giải phương trình bậc hai trên, tùy vào số nghiệm của phương trình mà ta có số giao điểm khác nhau:

  • \( (C) \) cắt \( d \) tại hai điểm phân biệt \(\Leftrightarrow\) phương trình \( (1) \) có hai nghiệm phân biệt \(\neq -\frac{d}{c}\)
  • \( (C) \) cắt \( d \) tại một điểm \(\Leftrightarrow\) phương trình \( (1) \) có một nghiệm kép \(\neq -\frac{d}{c}\)
  • \( (C) \) không cắt \( d \) \(\Leftrightarrow\) phương trình \( (1) \) vô nghiệm.

Ví dụ sự tương giao của đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ

Ví dụ: Cho hàm số \(y= \frac{mx-1}{x+2}\) có đồ thị là \( (C_m) \). Tìm giá trị của \( m \) để đường thẳng \( d: y=2x-1 \) cắt \( (C_m) \) tại hai điểm phân biệt \( A,B \) thỏa mãn \(AB=\sqrt{10}\)

Cách giải:

Hoành độ của \( A, B \) là nghiệm của phương trình:

latex] \frac{mx-1}{x+2}=2x-1 \;\;\;\;\; (1) [/latex]

Điều kiện \( x \neq -2 \)

\( (1) \Leftrightarrow mx-1 = (x+2)(2x-1) \Leftrightarrow 2x^2-(m-3)x -1 =0 \;\;\;\;\;\; (2) \)

Để \( d \) cắt \( (C_m) \) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \( (2) \) phải có hai nghiệm phân biệt \( \neq -2 \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta =(m-3)^2+8 >0\\ 8+2m-6-1 \neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m \neq -\frac{1}{2}\)

Giả sử \( x_1;x_2 \) là hai nghiệm của phương trình \( (2) \).

\(\Rightarrow A(x_1;2x_1-1) ; B(x_2;2x_2-1) \)

Theo định lý Viet ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2 = \frac{m-3}{2}\\ x_1.x_2= -\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\)

\(10=AB^2=(x_1-x_2)^2+4(x_1-x_2)^2 \Leftrightarrow (x_1-x_2)^2=2\)

\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=2 \Leftrightarrow \frac{(m-3)^2}{2}+2=2\)

\(\Leftrightarrow m=3 \) (thỏa mãn )

Vậy giá trị cần tìm là \( m=3 \)

Lý thuyết sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 3 với đường thẳng

sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 3 với đường thẳng

ví dụ sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 3

Sự tương giao của hai đồ thị hàm số qua bảng biến thiên

Phương pháp sử dụng bảng biến thiên để tìm tương giao của đồ thị hàm số sẽ giúp bạn có thêm một cách đơn giản trong việc giải các bài toán về chủ đề này. 

Cho hai hàm số chứa tham số \( m \) có đồ thị lần lượt là \( (C) ; (C’) \). Tìm giá trị của \( m \) để thỏa mãn điều kiện tương giao của hai đồ thị hàm số

  • Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng \( F(x, m) = 0 \) (phương trình ẩn \( x \) tham số \( m \))
  • Bước 2: Biến đổi đưa phương trình về dạng \( m = f(x) \)
  • Bước 3: Lập bảng biến thiên cho hàm số \( y = f(x) \)
  • Bước 4: Dựa vào yêu cầu bài toán và Bảng biến thiên tìm ra giá trị của \( m \)

***Chú ý: Phương pháp này thường được áp dụng với những bài toán mà \( x,m \) độc lập với nhau

Ví dụ:

Cho hàm số \( y= x^3-3x-m \) và đường thẳng \( y=m^2 \) với \( m \) là tham số. Tìm giá trị của \( m \) để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt

Cách giải:

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình

\( x^3-3x-m =m^2 \Leftrightarrow m^2+m=x^3-3x \;\;\;\;\; (1) \)

Xét hàm số \( f(x) = x^3-3x \) có :

\( f’(x) = 3x^2 -3 \)

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow x= \pm 1\)

Ta có bảng biến thiên dưới đây:

bảng biến thiên sự tương giao của đồ thị hàm số

Để đường thẳng và đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình \( (1) \) phải có ba nghiệm phân biệt

Từ bảng biến thiên ta thấy, để phương trình \( m^2+m=x^3-3x \) có ba nghiệm phân biệt thì \( -2 < m^2+m <2 \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2+m+2 >0\\ m^2+m-2 <0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \-2 <m <1\)

Cách giải các dạng bài tập sự tương giao của đồ thị hàm số

cách giải các dạng bài tập sự tương giao của đồ thị hàm số

sự tương giao của đồ thị hàm số và một số dạng bài luyện tập

Một số dạng bài tập sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 2 bậc 3

Sau đây là một số bài tập về dự tương giao của đồ thị hàm số để các bạn tự luyện tập.

Bài 1: Cho \( (P) : y = x^2 – 2x – m^2 \) và \( d: y = 2x +1 \) . Giả sử \( (P) \)  cắt \( d \) tại hai điểm phân biệt \( A,B \) thì tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \)  là

A. \( I(2;-m^2) \)

B. \( I(1; -m^2-1) \)

C. \( I(1;3) \)

D. \( I(2;5) \)

\(\Rightarrow\) Đáp án \( D \) 

Bài 2 : Cho hàm số \( y= x^4 – (2m-1)x^2+2m \) có đồ thị \( (C) \). Tìm giá trị của \( m \) để đường thẳng \( y=2 \) cắt đồ thị \( (C) \) tại bốn điểm phân biệt đều có hoành độ \( >3 \)

A. \(m \neq \frac{3}{2}\)

B. \(\left\{\begin{matrix} m \neq \frac{3}{2}\\ 1<m <2 \end{matrix}\right.\)

C. \(\left\{\begin{matrix} m \neq \frac{3}{2}\\ 1<m <\frac{11}{2} \end{matrix}\right.\)

D. \(1<m <\frac{11}{2}\)

\(\Rightarrow\) Đáp án \( C \)

Bài 3: Cho hàm số \(y= \frac{x^2-x+1}{x-1}\) có đồ thị \( (C) \). Tìm giá trị của \( m \) để đường thằng \( d: y=m \) cắt \( (C) \) tại hai điểm \( A,B \) thỏa mãn \(AB = \sqrt{2}\)

A. \( m = 1+\sqrt{6} \)

B. \( m= 1- \sqrt{6} \)

C. \( m= 1- \sqrt{6} \) hoặc \( m= 1+ \sqrt{6} \)

D. \( m= \sqrt{6} \)

\(\Rightarrow\) Đáp án \( C \)

Bài 4: Cho hàm số \( y= 2x^3+3x^2-12x -3 \) có đồ thị \( (C) \) và đường thẳng \(d: y= m+10 \). Tìm giá trị của \( m \) để đường thẳng \( d \) và \( (C) \) có đúng hai giao điểm

A. \( m= -20 \) hoặc \( m=7 \)

B. \( m= -13 \) hoặc \( m=4 \)

C. \( m= -13 \) hoặc \( m=7 \)

D. \( m= -20 \) hoặc \( m=4 \)

\(\Rightarrow\) Đáp án \( A \)

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải bài toán về tương giao của đồ thị hàm số. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề sự tương giao của đồ thị hàm số. Chúc bạn luôn học tốt!.

Xem chi tiết qua video của thầy Nguyễn Quốc Chí:



(nguồn http://www.youtube.com)

Please follow and like us:
 
Tagged:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *