Cực trị của hàm số là gì?
Cho hàm số \(y= f(x)\) liên tục và xác định trên khoảng \((a;b)\) và điểm \(x_0 \in (a;b)\)
- Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\) nếu tồn tại số \(h>0\) sao cho \(f(x) < f(x_0)\) với mọi \(x \in (x_0-h;x_0+h)\) và \(x \neq x_0\)
- Hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_0\) nếu tồn tại số \(h>0\) sao cho \(f(x) > f(x_0)\) với mọi \(x \in (x_0-h;x_0+h)\) và \(x \neq x_0\)
Định lý :
Cho hàm số \(y=f(x)\)liên tục, xác định và có đạo hàm cấp 2 trên khoảng \((a;b)\) . Khi đó
- Nếu \(\left\{\begin{matrix} f'(x_0)=0\\ f”(x_0)>0 \end{matrix}\right. \Rightarrow\)\(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số \(f\)
- Nếu \(\left\{\begin{matrix} f'(x_0)=0\\ f”(x_0)<0 \end{matrix}\right. \Rightarrow\)\(x_0\) là điểm cực đại của hàm số \(f\)
Cực trị của hàm số bậc 4?
Định nghĩa cực trị của hàm bậc 4
Cho hàm số bậc 4 : \(y=f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) với \(a \neq 0\)
Đạo hàm \(y’ = 4ax^3+3bx^2+2cx+d\)
Hàm số \(y=f(x)\) có thể có một hoặc ba cực trị .
Điểm cực trị là điểm mà qua đó thì đạo hàm \(y’\)đổi dấu
Số điểm cực trị của hàm bậc 4
Xét đạo hàm \(y’ = 4ax^3+3bx^2+3cx+d\)
- Nếu \(y’=0\) có đúng 1 nghiệm thì hàm số \(y=f(x)\) có đúng 1 cực trị (có thể là cực đại hoặc cực tiểu).
- Nếu \(y’=0\) có 2 nghiệm (gồm 1 nghiệm đơn , 1 nghiệm kép) thì hàm số \(y=f(x)\) có đúng 1 cực trị (có thể là cực đại hoặc cực tiểu).
- Nếu \(y’=0\) có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số \(y=f(x)\) có 3 cực trị (gồm cả cực đại và cực tiểu).
Ví dụ:
Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = x^4+mx^3+mx^2+mx+1\) không thể đồng thời có cả cực đại và cực tiểu với mọi \(m \in \mathbb{R}\)
Cách giải:
Để chứng minh hàm số đã cho không có đồng thời cực đại lẫn cực tiểu thì ta chứng minh hàm số ấy chỉ có duy nhât 1 cực trị với mọi \(m \in \mathbb{R}\)
Xét đạo hàm \(f’(x) =4x^3+m(3x^2+2x+1)\)
Xét phương trình \(f'(x)= 0 \Leftrightarrow 4x^3+m(3x^2+2x+1)=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{4x^3}{3x^2+2x+1}+m=0\)
Xét hàm số \(g(x) =\frac{4x^3}{3x^2+2x+1}+m\)
Ta có:
\(g'(x) =\frac{12x^2(3x^2+2x+1)-4x^3(6x+2)}{(3x^2+2x+1)^2}\)
\(=\frac{4x^2(3x^2+4x+3)}{(3x^2+2x+1)^2} \geq 0 \;\;\;\; \forall x \in \mathbb{R}\)
\(\Rightarrow\)hàm số \(g(x)\)đồng biến
\(\Rightarrow\)phương trình \(g(x) =0\) có đúng 1 nghiệm duy nhất
Như vậy phương trình\(f'(x)= 0\) có đúng 1 nghiệm duy nhất
\(\Rightarrow\)hàm số \(f(x)\) có duy nhất một điểm cực trị
Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương
Định nghĩa hàm số trùng phương là gì ?
Hàm số trùng phương là hàm số bậc 4 có dạng:
\(y=f(x) = ax^4+bx^2+c\)
Như vậy có thể coi đây là một hàm số bậc 2 với ẩn là \(x^2\)
Điều kiện cực trị của hàm bậc 4 trùng phương
Ví dụ:
Cho hàm số\(f(x) = 3mx^4+ (m-2)x^2 +m-1\). Tìm \(m\)để hàm số đã cho có ba điểm cực trị
Cách giải:
Để hàm số\(f(x)\) có 3 điểm cực trị thì
\(3m(m-2)<0\)
\(\Leftrightarrow m \in (0;2)\)
Công thức cực trị của hàm bậc 4 trùng phương
Xét hàm số trùng phương \(f(x) =ax^4+bx^2+c\)có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân \(ABC\) đỉnh \(A\)
Tọa độ các đỉnh:
- \(A(0;c)\)
- \(B(-\sqrt{\frac{-b}{2a}};-\frac{\Delta}{4a})\)
- \(C(\sqrt{\frac{-b}{2a}};-x\frac{\Delta}{4a})\)
Để giải quyết nhanh các bài toán về hàm bậc 4 trùng phương trong các bài toán trắc nghiệm thì ta có các công thức sau đây
\(\cos \widehat{BAC}=\frac{b^3+8a}{b^3-8a}\)
Diện tích \(\Delta ABC =\frac{b^2}{4|a|}.\sqrt{-\frac{b}{2a}}\)
Ví dụ:
Cho hàm số \(f(x) = x^4-2mx^2 +3\) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \(f(x)\) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có độ dài cạnh bên bằng 2 lần độ dài cạnh đáy
Cách giải:
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì \(-2m <0 \Leftrightarrow m >0\)
Theo định lý Cosin ta có :
\(BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos \widehat{BAC}\)
\(\Leftrightarrow \cos \widehat{BAC}=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}\)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\Rightarrow AB=AC\)
Theo đề bài ta có \(AB=2BC\)
Thay vào ta được
\(\cos \widehat{BAC}=\frac{7}{8}\)
Áp dụng công thức \(\cos \widehat{BAC}\) ta có
\(\frac{7}{8}=\cos \widehat{BAC}=\frac{b^3+8a}{b^3+8a}=\frac{-8m^3+8}{-8m^3-8}\)
\(\Leftrightarrow m^3=15\Leftrightarrow m =\sqrt[3]{15}\) (thỏa mãn)
Vậy \(m =\sqrt[3]{15}\)
Bài tập cực trị của hàm bậc 4 trùng phương
Bài 1:
Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \(f(x) = 2x^4-m^2x^2+m^2-1\) có 3 điểm cực trị \(A,B,C\) sao cho bốn điểm \(O,A,B,C\) là 4 đỉnh của một hình thoi
A. \(m=\pm \sqrt{2}\)
B. \(m=\pm \sqrt{3}\)
C. \(m=\pm 2\)
D. \(m=\pm 3\)
\(\Rightarrow A\)
Bài 2 :
Tìm \(m\)để đồ thị hàm số \(f(x) = x^4-2m^2x^2+m^4+1\) có 3 điểm cực trị \(A,B,C\) sao cho bốn điểm \(O,A,B,C\) cùng nằm trên một đường tròn
A. \(m=\pm 1\)
B. \(m=\pm 2\)
C. \(m= 1\)
D. \(m= -1\)
\(\Rightarrow A\)
Bài 3 :
Tìm \(m\)để đồ thị hàm số \(f(x)= x^4-2mx^2+m\) có 3 điểm cực trị \(A,B,C\) tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn hơn 1
A. \(m \in (2;+\infty)\)
B. \(m \in (-2;+\infty)\)
C. \(m \in (-\infty;2)\)
D. \(m \in (-\infty;-2)\)
\(\Rightarrow A\)
Bài 4 :
Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \(f(x)= x^4-2x^2+m+2\) có 3 điểm cực trị \(A,B,C\) tạo thành tam giác có trọng tâm là \(O\)
A. \(m=-\frac{2}{3}\)
B. \(m=-\frac{4}{3}\)
C. \(m=\frac{2}{3}\)
D. \(m=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow B\)
Bài 5:
Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \(f(x)= x^4-2(1-m^2)x^2+m+1\) có 3 điểm cực trị \(A,B,C\) tạo thành tam giác có diện tích lớn nhất
A. \(m=-1\)
B. \(m=1\)
C. \(m=0\)
D. \(m=2\)
\(\Rightarrow C\)
Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và bài tập về chuyên đề cực trị của hàm bậc 4 cũng như các phương pháp giải. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề cực trị của hàm số bậc 4. Chúc bạn luôn học tốt!