bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học 11. Vậy đường thẳng vuông góc mặt phẳng là gì? Cách vẽ đường thẳng vuông góc mặt phẳng? Bài giảng và các dạng bài tập đường thẳng vuông góc mặt phẳng lớp 11?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

Lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là gì?

Một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Khi đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \( (P) \) ta nói mặt phẳng \( (P) \) vuông góc với d . Kí hiệu \(d \bot (P)\)

Nếu đường thẳng \( a \) không vuông góc với mặt phẳng \( (P) \) thì góc giữa \( a \) và hình chiếu \( a’ \) của nó lên \( (P) \) gọi là góc giữa đường thẳng \( a \) và mặt phẳng \( (P) \)

Điều kiện để đường thẳng vuông góc mặt phẳng 

điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Một số tính chất đường thẳng vuông góc mặt phẳng

  • Qua điểm \( O \) nằm ngoài đường thẳng \( a \) có duy nhất một mặt phẳng \( (P) \) đi qua \( O \) và vuông góc với \( a \)
  • Qua điểm \( O \) nằm ngoài mặt phẳng \( (P) \) có duy nhất một đường thẳng \( a \) đi qua \( O \) và vuông góc với \( (P) \)
  • Hai đường thẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với nhau

\(\left\{\begin{matrix} a \bot (P)\\b \bot (P) \end{matrix}\right. \Rightarrow a \parallel b\)

  • Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau

\(\left\{\begin{matrix} a \bot (P)\\a \bot (Q) \end{matrix}\right. \Rightarrow (P) \parallel (Q)\)

  • Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng đó cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau

\(\left\{\begin{matrix} a \bot b\\(P) \bot b \end{matrix}\right. \Rightarrow a \parallel (P)\)

Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc

Quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có mối liên hệ cụ thể như sau: 

đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và mối quan hệ vuông góc song song

Một số định lý đường thẳng vuông góc mặt phẳng

Định lý ba đường vuông góc

Đường thẳng \( a \) không vuông góc với mặt phẳng \( (P) \) và \( b \) là một đường thẳng nằm trong \( (P) \) thì điều kiện cần và đủ để \( b \bot a \) là \( b \) vuông góc với hình chiếu \( a’ \) của \( a \) trên \( (P) \)

định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Tìm hiểu định nghĩa phép chiếu vuông góc 

định nghĩa phép chiếu vuông góc khi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Cách vẽ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Ta cần vẽ một đường thẳng đi qua \( O \) nằm ngoài mặt phẳng \( (P) \) và vuông góc với \( (P) \)

Cách 1: Dựa vào định nghĩa

Tìm hình chiếu \( O’ \) của \( O \) trên \( (P) \). Khi đó đường thẳng \( OO’ \) là đường thẳng cần vẽ.

đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và ảnh minh họa

Cách 2: Thông qua đường thẳng trung gian

Giả sử đã có đường thẳng \( a \bot (P) \) . Trong mặt phẳng chứa \( O,a \) ta vẽ đường thẳng qua \( O \) song song với \( a \). Đó là đường thẳng cần vẽ.

vẽ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng qua đường thẳng trung gian

Ví dụ

Cho hình chóp \( S.ABC \) với \( SA \bot (ABC) \). Lấy \( D \) là trung điểm \( BC \). Trên [/latex] SD [/latex] lấy điểm \( M \) sao cho \( DM =2 SM \). Đường thẳng qua \( M \) vuông góc với \( (ABC) \) cắt \( (ABC) \) tại \( K \). Xác định vị trí của \( K \)

Cách giải

ví dụ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Trong mặt phẳng \( (SAD) \) xét \( \Delta SAD \)

Qua \( M \) kẻ \( MK \parallel SA \). Khi đó

\(\frac{AK}{AD}=\frac{SM}{SD}=\frac{1}{3}\)

Vì \(\left\{\begin{matrix} SA \bot (ABC)\\SA \parallel MK \end{matrix}\right. \Rightarrow MK \bot (ABC)\)

Vậy đường thẳng qua \( M \) vuông góc với \( (ABC) \) cắt \( (ABC) \) tại \( K \) sao cho \(\frac{AK}{AD}=\frac{1}{3}\)

Các dạng bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \( (P) \) ta có thể sử dụng ba cách sau đây

  • Cách 1: Chứng minh \( d \) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong \( (P) \)
  • Cách 2: Chứng minh \( d \) song song với đường thẳng \( a \) mà \( a \bot (P) \)
  • Cách 3: Chứng minh \( d \bot (Q) \) và \( (Q) \parallel (P) \)

Ví dụ:

Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy là hình vuông \( ABCD \) tâm \( O \) và có cạnh \( SA \bot (ABCD) \). Gọi \( H,K \) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \( A \) trên các cạnh \( SB, SC \).

Chứng minh rằng \( HK \bot (SAC) \)

Cách giải:

bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Xét \( \Delta SAD \) vuông tại \( A \) có đường cao \( AK \)

Theo hệ thức lượng tam giác vuông \(\Rightarrow SK.SD = SA^2\)

Tương tự với \( \Delta SAB \Rightarrow SH.SB = SA^2\)

\(\Rightarrow SK.SD = SH.SB\)

Mặt khác \(\Delta SAB=\Delta SAD\) (c.g.c) \(\Rightarrow SB=SD\)

\(\Rightarrow SK=SH \Rightarrow \frac{SK}{SD}=\frac{SH}{SB}\)

Xét \(\Delta SBD\) có \( \frac{SK}{SD}=\frac{SH}{SB}\)

\(\Rightarrow HK \parallel BD  \;\;\;\;\;\;\ (1)\)

Mặt khác ta có

\(BD \bot SA\) (do \(SA \bot (ABCD)\) )

\( BD \bot AC \) (hai đường chéo hình vuông)

\(\Rightarrow BD \bot (SAC)\;\;\;\;\;\; (2)\)

Từ \( (1)(2) \Rightarrow HK \bot (SAC) \)

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh hai đường thẳng \( a,b \) vuông góc với nhau ta có thể sử dụng hai cách sau đây

  • Cách 1: Tìm một mặt phẳng \( (P) \) chứa đường thẳng \( b \) rồi chứng minh \( a \bot (P) \). Khi đó \(\Rightarrow a \bot b\)
  • Cách 2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc. 

Ví dụ:

Cho hình chóp \( S.ABC \) có đáy là tam giác vuông tại \( A \) và \( SA \bot (ABC)\). Gọi \( D [latex] là điểm đối xứng của [latex] B \) qua trung điểm \( M \) của \( AC \). Chứng minh rằng \( CA \bot SM \)

Cách giải

chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Ta có:

\( M \) là trung điểm \( AC \)

\( M \) là trung điểm \( BD \)

\(\Rightarrow ABCD\) là hình bình hành

\(\Rightarrow CD \parallel AB\)

Mà \(AB \bot AC \Rightarrow CD \bot AC\)

Mà \( CD \bot SA \) ( do \( SA \bot (ABC) \)

\(\Rightarrow CD \bot (SAC)\)

Mà \(SM \in (SAC) \Rightarrow CD \bot SM\)

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xác định và tính độ lớn góc giữa đường thẳng \( d \) và mặt phẳng \( (P) \) ta thực hiện các bước sau

  • Bước 1: Tìm giao điểm \(I=d\cap (P)\)
  • Bước 2: Chọn một điểm bất kì \( A \in d \) rồi dựng hình chiếu \( A’ \) xuống mặt phẳng \( (P) \)
  • Bước 3: Góc giữa \( d \) và \( (P) \) là góc \(\widehat{AIA’}\). Để tính độ lớn góc \(\widehat{AIA’}\) ta sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông \( AIA’ \)

Ví dụ:

Cho hình chóp \( S.ABC \) có đáy \( ABC \) là tam giác vuông có cạnh huyền \( BC =a \). Biết rằng hình chiếu của \( S \) lên \( (ABC) \) là trung điểm \( BC \) và \( SB=a \). Tính số đo góc giữa \( SA \) và \( (ABC) \)

Cách giải

tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Xét \( \Delta SBC \) có

\( M \) là trung điểm \( BC \)

\( SM \bot BC \)

\(\Rightarrow \Delta SBC\) cân tại \( S \)

Mà \( SB=BC =a \Rightarrow \Delta SBC\) đều

\(\Rightarrow SM =\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Xét \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \) có \( AM \) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\Rightarrow AM = \frac{BC}{2}= \frac{a}{2}\)

Xét \( \Delta SMA \) vuông tại \( M \)

\(\tan \widehat{SAM}= \frac{SM}{AM}= \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}}= \sqrt{3}\)

\( \Rightarrow \widehat{SAM}=60^{\circ} \)

Mà \( M \) là hình chiếu của \( S \) lên \( (ABC) \) nên \(\Rightarrow\) góc giữa \( SA \) và \( (ABC) \) là \( \widehat{SAM}=60^{\circ} \)

Tìm thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với đường thẳng

Để xác định thiết diện của mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \( O \) vuông góc với đường thẳng \( d \) với hình chóp ta có thể thực hiện hai cách sau

  • Cách 1: Xác định tất cả các đường thẳng vuông góc với \( d \), khi đó \((\alpha)\) sẽ song song hoặc chứa các đường thẳng này. Sau đó ta chuyển về dạng thiết diện song song
  • Cách 2: Dựng hai đường thẳng \( a,b \bot d \) trong đó có một đường thẳng đi qua điểm \( O \). Khi đó mặt phẳng \((\alpha)\) chính là mặt phẳng \( (a,b) \)

Ví dụ:

Cho hình chóp \( S.ABC \) có đáy \( ABC \) là tam giác đều cạnh \( a \) và \( SA=SB=SC =b \). Xét mặt phẳng \( (\alpha) \) đi qua \( A \) và vuông góc với \( SC \). Tính thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \( (\alpha) \)

Cách giải

tìm thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với đường thẳng

Vì \( SA=SB=SC \Rightarrow \) hình chiếu của \( S \) lên \( (ABC) \) là trọng tâm \( O \) của \( \Delta ABC \)

Mặt khác, vì \( \Delta ABC \) đều nên \( O \) cũng là trực tâm của \( \Delta ABC \)

\(\Rightarrow OA \bot BC\)

Mà \(SO \bot BC\) vì \( SO \bot (ABC) \)

\(\Rightarrow BC \bot (SAO)\)

\(\Rightarrow BC \bot SA\)

Trong \( (SAC) \) kẻ \( CI \bot SA \).

\(\Rightarrow (BCI)\bot SA\) nên thiết diện cần tìm chính là \( \Delta BCI \)

Vì \(\Delta SAB = \Delta SAC\) (c.c.c) \(\Rightarrow IB=IC\) ( là đường cao kẻ xuống \( SC \) )

\(\Rightarrow \Delta IBC\) cân tại \( I \)

Xét \( \Delta SAC \) cân tại \( S \) có đường cao \( CI \) và \( SA=SB =b ; AC =a \)

Lấy \( H \) là trung điểm \( AC \Rightarrow SH \bot AC \)

\( IC = AC.\sin \widehat{SAC} = AC.\frac{SH}{SA} = a.\frac{\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}}{b} = \frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{2b} \)

Xét \( \Delta IBC \) cân tại \( I \) có \( M \) là trung điểm \( BC \)

\(\Rightarrow IM \bot BC\)

\( IM = \sqrt{IC^2-MC^2} = \sqrt{\frac{a^2(4b^2-a^2)}{4b^2}-\frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3b^2-a^2}}{2b} \)

Vậy diện tích thiết diện \( S_{IBC} = \frac{IM.BC}{2} = \frac{a^2\sqrt{3b^2-a^2}}{4b} \)

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết, các dạng bài tập cũng như cách vẽ đường thẳng vuông góc mặt phẳng. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lớp 11. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:


(Nguồn: www.youtube.com)
Xem thêm >>> Giới hạn của dãy số lớp 11: Lý thuyết, Bài tập và Các dạng toán 

Xem thêm >>> Giới hạn của hàm số là gì? Lý thuyết, Bài tập và Cách giải 

Xem thêm >>> Vecto trong không gian lớp 11 và Các dạng toán vecto trong không gian

Please follow and like us:

Comments

  1. Pingback: Vecto trong không gian lớp 11 và Các dạng toán vecto trong không gian

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *