Lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là gì?

Một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Khi đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\) ta nói mặt phẳng \((P)\) vuông góc với \(d\) . Kí hiệu \(d⊥(P)\)

Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \((P)\) thì góc giữa \(a\) và hình chiếu \(a'\) của nó lên \((P)\) gọi là góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \((P)\)

Điều kiện để đường thẳng vuông góc mặt phẳng 

Một số tính chất đường thẳng vuông góc mặt phẳng

• Qua điểm \(O\) nằm ngoài đường thẳng \(a\) có duy nhất một mặt phẳng \((P)\) đi qua \(O\) và vuông góc với \(a\)
• Qua điểm \(O\) nằm ngoài mặt phẳng \((P)\) có duy nhất một đường thẳng \(a\) đi qua \(O\) và vuông góc với \((P)\)
• Hai đường thẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với nhau

\(\left\{\begin{matrix} a \bot (P)\\b \bot (P) \end{matrix}\right. \Rightarrow a \parallel b\)

• Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau

\(\left\{\begin{matrix} a \bot (P)\\a \bot (Q) \end{matrix}\right. \Rightarrow (P) \parallel (Q)\)

• Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng đó cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau

\(\left\{\begin{matrix} a \bot b\\(P) \bot b \end{matrix}\right. \Rightarrow a \parallel (P)\)

Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc

Quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có mối liên hệ cụ thể như sau: 

Một số định lý đường thẳng vuông góc mặt phẳng

Định lý ba đường vuông góc

Đường thẳng \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \((P)\) và \(b\) là một đường thẳng nằm trong \((P)\) thì điều kiện cần và đủ để \(b⊥a\) là \(b\) vuông góc với hình chiếu \(a'\) của \(a\) trên \((P)\)

Tìm hiểu định nghĩa phép chiếu vuông góc 

Cách vẽ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Ta cần vẽ một đường thẳng đi qua \(O\) nằm ngoài mặt phẳng \((P)\) và vuông góc với \((P)\)

Cách 1: Dựa vào định nghĩa

Tìm hình chiếu \(O'\) của \(O\) trên \((P)\). Khi đó đường thẳng \(OO'\) là đường thẳng cần vẽ.

Cách 2: Thông qua đường thẳng trung gian

Giả sử đã có đường thẳng \(a⊥(P)\) . Trong mặt phẳng chứa \(O\),\(a \) ta vẽ đường thẳng qua O song song với a. Đó là đường thẳng cần vẽ.

Ví dụ

Cho hình chóp \(S.ABC\) với \(SA⊥(ABC)\). Lấy D là trung điểm BC. Trên \( SD\)lấy điểm M sao cho \(DM=2SM\). Đường thẳng qua M vuông góc với (ABC) cắt (ABC) tại K. Xác định vị trí của K

Cách giải

Trong mặt phẳng (SAD) xét \(ΔSAD\)

Qua M kẻ \( MK∥SA\). Khi đó

\(\frac{AK}{AD}=\frac{SM}{SD}=\frac{1}{3}\)

Vì \(\left\{\begin{matrix} SA \bot (ABC)\\SA \parallel MK \end{matrix}\right. \Rightarrow MK \bot (ABC)\)

Vậy đường thẳng qua M vuông góc với (ABC) cắt (ABC) tại K sao cho \(\frac{AK}{AD}=\frac{1}{3}\)

Các dạng bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) ta có thể sử dụng ba cách sau đây

• Cách 1: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P)
• Cách 2: Chứng minh d song song với đường thẳng a mà \(a⊥(P)\)
• Cách 3: Chứng minh \(d⊥(Q)\) và \((Q)∥(P)\)

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh \(SA⊥(ABCD)\). Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB,SC.

Chứng minh rằng \(HK⊥(SAC)\)

Cách giải:

Xét \(ΔSAD\) vuông tại A có đường cao AK

Theo hệ thức lượng tam giác vuông \(⇒SK.SD=SA^2\)

Tương tự với \(ΔSAB⇒SH.SB=SA^2\)

\(⇒SK.SD=SH.SB\)

Mặt khác \(ΔSAB=ΔSAD (c.g.c) ⇒SB=SD\)

\(\Rightarrow SK=SH \Rightarrow \frac{SK}{SD}=\frac{SH}{SB}\)

Xét \(ΔSBD\) có \(\frac{SK}{SD}=\frac{SH}{SB}\)

\(⇒HK∥BD (1)\)

Mặt khác ta có

\(BD⊥SA\) (do \(SA⊥(ABCD)\) )

\(BD⊥AC\) (hai đường chéo hình vuông)

\(⇒BD⊥(SAC)(2)\)

Từ \((1)(2)⇒HK⊥(SAC)\)

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh hai đường thẳng a,b vuông góc với nhau ta có thể sử dụng hai cách sau đây

• Cách 1: Tìm một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b rồi chứng minh \(a⊥(P)\). Khi đó \(⇒a⊥b\)
• Cách 2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc. 

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và \(SA⊥(ABC)\). Gọi D là điểm đối xứng của B qua trung điểm M của AC. Chứng minh rằng \(CA⊥SM\)

Cách giải

Ta có:

M là trung điểm AC

M là trung điểm BD

\(⇒\) ABCD là hình bình hành

\(⇒CD∥AB\)

Mà \(AB⊥AC⇒CD⊥AC\)

Mà \(CD⊥SA\) ( do \(SA⊥(ABC\))

\(⇒CD⊥(SAC)\)

Mà \(SM∈(SAC)⇒CD⊥SM\)

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xác định và tính độ lớn góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) ta thực hiện các bước sau

• Bước 1: Tìm giao điểm \(I=d∩(P)\)
• Bước 2: Chọn một điểm bất kì \(A∈d \)rồi dựng hình chiếu \(A'\) xuống mặt phẳng (P)
• Bước 3: Góc giữa d và (P) là góc \(\widehat{AIA’}\). Để tính độ lớn góc \(\widehat{AIA’}\) ta sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông \(\widehat{AIA’}\)

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông có cạnh huyền BC=a. Biết rằng hình chiếu của S lên (ABC) là trung điểm BC và SB=a. Tính số đo góc giữa SA và (ABC)

Cách giải

Xét \(ΔSBC\) có

M là trung điểm BC

\(SM⊥BC\)

\(⇒ΔSBC\) cân tại S

Mà \(SB=BC=a⇒ΔSBC\) đều

\(\Rightarrow SM =\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Xét ΔABC vuông tại A có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\Rightarrow AM = \frac{BC}{2}= \frac{a}{2}\)

Xét ΔSMA vuông tại M

\(\tan \widehat{SAM}= \frac{SM}{AM}= \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}}= \sqrt{3}\)

\(\Rightarrow \widehat{SAM}=60^{\circ}\)

Mà M là hình chiếu của S lên (ABC) nên \(⇒\) góc giữa SA và (ABC) là \(\widehat{SAM}=60^{\circ}\)

Tìm thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với đường thẳng

Để xác định thiết diện của mặt phẳng (α) đi qua O vuông góc với đường thẳng d với hình chóp ta có thể thực hiện hai cách sau

• Cách 1: Xác định tất cả các đường thẳng vuông góc với d, khi đó (α) sẽ song song hoặc chứa các đường thẳng này. Sau đó ta chuyển về dạng thiết diện song song

• Cách 2: Dựng hai đường thẳng a,b⊥d trong đó có một đường thẳng đi qua điểm O. Khi đó mặt phẳng (α) chính là mặt phẳng (a,b)

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và \(SA=SB=SC=b\). Xét mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với SC. Tính thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (α)

Cách giải

Vì \(SA=SB=SC⇒\) hình chiếu của S lên (ABC) là trọng tâm O của \(ΔABC\)

Mặt khác, vì \(ΔABC\) đều nên O cũng là trực tâm của \(ΔABC\)

\(⇒OA⊥BC\)

Mà \(SO⊥BC\) vì \(SO⊥(ABC)\)

\(⇒BC⊥(SAO)\)

\(⇒BC⊥SA\)

Trong (SAC) kẻ \(CI⊥SA\).

\(⇒(BCI)⊥SA \)nên thiết diện cần tìm chính là \(ΔBCI\)

Vì \(ΔSAB=ΔSAC (c.c.c) ⇒IB=IC\) ( là đường cao kẻ xuống SC )

\(⇒ΔIBC\) cân tại I

Xét \(ΔSAC\) cân tại S có đường cao CI và \(SA=SB=b;AC=a\)

Lấy H là trung điểm \(AC⇒SH⊥AC\)

\(IC = AC.\sin \widehat{SAC} = AC.\frac{SH}{SA} = a.\frac{\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}}{b} = \frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{2b}\)

Xét \(ΔIBC\) cân tại I có M là trung điểm BC

\(⇒IM⊥BC\)

\(IM = \sqrt{IC^2-MC^2} = \sqrt{\frac{a^2(4b^2-a^2)}{4b^2}-\frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3b^2-a^2}}{2b}\)

Vậy diện tích thiết diện \(S_{IBC} = \frac{IM.BC}{2} = \frac{a^2\sqrt{3b^2-a^2}}{4b}\)

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết, các dạng bài tập cũng như cách vẽ đường thẳng vuông góc mặt phẳng. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lớp 11. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm >>> Giới hạn của hàm số là gì? Lý thuyết, Bài tập và Cách giải 

Xem thêm >>> Vecto trong không gian lớp 11 và Các dạng toán vecto trong không gian