Hàm số liên tục là phần lý thuyết quan trọng trong chương trình toán học của các em học sinh. Vậy định nghĩa. Trong phạm vi bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn trả lời các vấn đề trên, cùng tìm hiểu nhé.

Lý thuyết HSLT

Hàm số liên tục tại một điểm

Giả sử cho hàm số \(y=f(x)\)  xác định trên \((a;b)\) và\(x_{0}\epsilon (a;b)\)

Khi đó, hàm số  \(y=f(x)\)  liên tục tại \(x_{0}\)⇔limx→x0f(x)=f(x0)x0⇔limx→x0f(x)=f(x0)

Để xét tính liên tục của hàm số \(y=f(x)\)  tại điểm \(x_{0}\)  ta thực hiện các bước như sau:

  • Bước 1: Tính \(f(x_{0})\)
  • Bước 2: Tính \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\)  (Trong nhiều trường hợp ta cần tính \(\lim_{x\rightarrow x_{0^{+}}}f(x), \lim_{x\rightarrow x_{0^{-}}}f(x)\)).
  • Bước 3: So sánh \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\) với \(f(x_{0})\).
  • Bước 4: Kết luận
  • Hàm số  \(y=f(x)\) không liên tục tại \(x_{0}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

hình ảnh hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số liên tục trên một khoảng

Hàm số  \(y=f(x)\) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Đồ thị của HSLT trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.

Hàm số liên tục trên đoạn

Hàm số  \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) nếu nó liên tục trên khoảng \((a;b)\) và

\(\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a),\lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x)=f(b)\)

Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)

  • Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\).
  • Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức), hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

Giả sử \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\)  là hai HSLT tại điểm \(x_{0}\). Khi đó:

  • Các hàm số \(y=f(x)+g(x), y=f(x)-g(x), y=f(x).g(x)\) liên tục tại \(x_{0}\).
  • Hàm số \(y=\frac{f(x)}{g(x)}\) liên tục tại \(x_{0}\) nếu \(g(x_{0})\neq 0\).

Tính chất của hàm số liên tục

Định lý

Hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \([a;b]\) và \(f(a)\neq f(b)\Rightarrow \forall M\) nằm giữa \(f(a), f(b),\exists c\epsilon (a;b):f(c)=M\)

Hệ quả

Hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \([a;b]\) và \(f(a).f(b)<0\Rightarrow \exists c\epsilon (a;b):f(c)=0\)

Hệ quả này thường được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng.

Các dạng toán và phương pháp giải 

Dạng 1: HSLT tại một điểm

  • \(f(x)=\left\{\begin{matrix} h(x,m) & ( x\neq x_{0})\\ g(x,m) & (x=x_{0}) \end{matrix}\right.\) tại \(x=x_{0}\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính \(f(x_{0})\)

Bước 2: Tính \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\)

Bước 3: So sánh \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\) với \(f(x_{0})\)  

Bước 4: Kết luận

  • \(f(x)=\left\{\begin{matrix} h(x,m) & ( x\geq x_{0})\\ g(x,m) & (x< x_{0}) \end{matrix}\right\) tại  \(x=x_{0}\)

hoặc: \(f(x)=\left\{\begin{matrix} h(x,m) & ( x> x_{0})\\ g(x,m) & (x\leq x_{0}) \end{matrix}\right\)  tại \(x=x_{0}\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính \(f(x_{0})\)

Bước 2: Tính \(\lim_{x\rightarrow x_{0^{+}}}f(x), \lim_{x\rightarrow x_{0^{-}}}f(x)\)

Bước 3: So sánh \(\lim_{x\rightarrow x_{0^{+}}}f(x), \lim_{x\rightarrow x_{0^{-}}}f(x), f(x_{0})\)

Bước 4: Kết luận

Dạng 2: HSLT trên tập xác định của nó

  • \(f(x)=\left\{\begin{matrix} h(x,m) & ( x\neq x_{0})\\ g(x,m) & (x=x_{0}) \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số đã cho

Bước 2: Khi \(x\neq x_{0}\), xác định tính liên tục của hàm số \(f(x)\) tại \(x\neq x_{0}\)

Bước 3: Khi \(x\= x_{0}\)

  • Tính \(f(x_{0})\)
  • Tính \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\)
  • So sánh \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\) với \(f(x_{0})\) và rút ra kết luận tại điểm \(x_{0}\)

Bước 4: Kết luận tính liên tục trên tập xác định của chúng.

  • \(f(x)=\left\{\begin{matrix} h(x,m) & ( x\geq x_{0})\\ g(x,m) & (x< x_{0}) \end{matrix}\right\)

hoặc: \(f(x)=\left\{\begin{matrix} h(x,m) & ( x> x_{0})\\ g(x,m) & (x\leq x_{0}) \end{matrix}\right\)

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

Bước 2: Khi  \(x\neq x_{0}\), xác định tính liên tục của hàm số \(f(x)\) trên các khoảng.

Bước 3: Khi \(x= x_{0}\)

  • Tính \(f(x_{0})\)
  • Tính \(\lim_{x\rightarrow x_{0^{+}}}f(x), \lim_{x\rightarrow x_{0^{-}}}f(x)\)
  • So sánh \(\lim_{x\rightarrow x_{0^{+}}}f(x), \lim_{x\rightarrow x_{0^{-}}}f(x), f(x_{0})\) và rút ra kết luận tại điểm \(x_{0}\)

Bước 4: Kết luận tính liên tục trên tập xác định.

Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm

Ví dụ : Chứng minh phương trình\(3x^{3}+2x-2=0\) có nghiệm trong khoảng \((0;1)\)

Hướng dẫn giải:

  • Xét hàm số \(f(x)=3x^{3}+2x-2\) là hàm đa thức liên tục trên R, tức là liên tục trên khoảng \((0;1)\)
  • Ta có: \(f(0).f(1)=(-2).3=-6< 0\)
  • Suy ra: \(c\epsilon (0;1)\),   

phương trình  có nghiệm \(c\epsilon (0;1)\)

Trên đây là tổng hợp kiến thức về phần lý thuyết, cách giải cũng như một số dạng bài tập điển hình. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho các bạn kiến thức bổ ích phục vụ cho quá trình học tập của bản thân. Nếu có bất cứ câu hỏi nào phát sinh liên quan đến chủ đề hàm số liên tục, mời bạn để lại nhận xét, DINHNGHIA.VN sẽ hỗ trợ giải đáp giúp bạn.

Please follow and like us:
 

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *