Các hằng đẳng thức mở rộng cơ bản
Hằng đẳng thức bậc 2 mở rộng
- (𝑎+𝑏+𝑐)2=𝑎2+𝑏2+𝑐2+2𝑎𝑏+2𝑎𝑐+2𝑏𝑐
- (𝑎+𝑏−𝑐)2=𝑎2+𝑏2+𝑐2+2𝑎𝑏−2𝑎𝑐−2𝑏𝑐
- (𝑎+𝑏+𝑐+𝑑)2=𝑎2+𝑏2+𝑐2+𝑑2+2𝑎𝑏+2𝑎𝑐+2𝑎𝑑+2𝑏𝑐+2𝑏𝑑+2𝑐𝑑
Hằng đẳng thức bậc 3 mở rộng
- (𝑎+𝑏+𝑐)3=𝑎3+𝑏3+𝑐3+3(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑐)
- 𝑎3+𝑏3=(𝑎+𝑏)3−3𝑎𝑏(𝑎+𝑏)
- 𝑎3−𝑏3=(𝑎−𝑏)3+3𝑎𝑏(𝑎−𝑏)
- 𝑎3+𝑏3+𝑐3−3𝑎𝑏𝑐=(𝑎+𝑏+𝑐)(𝑎2+𝑏2+𝑐2−𝑎𝑏−𝑎𝑐−𝑏𝑐)
Hằng đẳng thức bậc 4 mở rộng
- (𝑎+𝑏)4=𝑎4+4𝑎3𝑏+6𝑎2𝑏2+4𝑎𝑏3+𝑏4
Hằng đẳng thức bậc 5 mở rộng
- (𝑎+𝑏)5=𝑎5+5𝑎4𝑏+10𝑎3𝑏2+10𝑎2𝑏3+5𝑎𝑏4+𝑏5
Hằng đẳng thức bậc 6 mở rộng
- (𝑎+𝑏)6=𝑎6+6𝑎5𝑏+15𝑎4𝑏2+20𝑎3𝑏3+15𝑎2𝑏4+6𝑎𝑏5+𝑏6
Hằng đẳng thức bậc 7 mở rộng
- (𝑎+𝑏)7=𝑎7+7𝑎6𝑏+21𝑎5𝑏2+35𝑎4𝑏3+35𝑎3𝑏4+21𝑎2𝑏5+7𝑎𝑏6+𝑏7
Các hằng đẳng thức mở rộng nâng cao
Bình phương của 𝑛 số hạng (𝑛>2)
- (𝑎1+𝑎2+𝑎3+…+𝑎𝑛−1+𝑎𝑛)2=𝑎21+𝑎22+𝑎23+…+𝑎2𝑛+2𝑎1𝑎2+2𝑎1𝑎3+…+2𝑎1𝑎𝑛+2𝑎2𝑎3…+𝑎𝑛−1𝑎𝑛
Hằng đẳng thức 𝑎𝑛+𝑏𝑛 ( với n là số lẻ) - 𝑎𝑛+𝑏𝑛=(𝑎+𝑏)(𝑎𝑛−1−𝑎𝑛−2𝑏+𝑎𝑛−3𝑏2+…+𝑏𝑛−1)
Hằng đẳng thức 𝑎𝑛−𝑏𝑛 ( với n là số lẻ)
- 𝑎𝑛−𝑏𝑛=(𝑎−𝑏)(𝑎𝑛−1+𝑎𝑛−2𝑏+𝑎𝑛−3𝑏2+…+𝑏𝑛−1)
Hằng đẳng thức 𝑎𝑛−𝑏𝑛 (với n là số chẵn)
- 𝑎𝑛−𝑏𝑛=(𝑎−𝑏)(𝑎𝑛−1+𝑎𝑛−2𝑏+𝑎𝑛−3𝑏2+…+𝑏𝑛−1)
hoặc: =(𝑎+𝑏)(𝑎𝑛−1−𝑎𝑛−2𝑏+𝑎𝑛−3𝑏2+…−𝑏𝑛−1)
Cách nhớ:
***Lưu ý: Gặp bài toán có công thức 𝑎𝑛−𝑏𝑛 (với n là số chẵn) hãy nhớ đến công thức:
- 𝑎2−𝑏2=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏) (viết (𝑎+𝑏) trước )
- 𝑎2−𝑏2=(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏) ( viết (𝑎−𝑏) trước ).
Chú ý: Gặp bài toán 𝑎𝑛+𝑏𝑛 ( với n là số chẵn) hãy nhớ
𝑎2+𝑏2 không có công thức tổng quát biến đổi thành tích. Nhưng một vài trường hợp đặc biệt có số mũ bằng 4k có thể biến đổi thành tích được.
Nhị thức Newton và tam giác Pascal
Khai triển (𝐴+𝐵) để viết dưới dạng một đa thức với lũy thừa giảm dần của A lần lượt với 𝑛=0;1;2;3,…
Ta được:
- (𝐴+𝐵)0=1
- (𝐴+𝐵)1=𝐴+1𝐵
- (𝐴+𝐵)2=𝐴2+2𝐴𝐵+𝐵2
- (𝐴+𝐵)3=𝐴3+3𝐴2𝐵++3𝐴𝐵2+𝐵3
- (𝐴+𝐵)4=𝐴4+4𝐴3𝐵+6𝐴2𝐵2+4𝐴𝐵3+𝐵4
- (𝐴+𝐵)5=𝐴5+5𝐴4𝐵+10𝐴3𝐵2+10𝐴2𝐵3+5𝐴𝐵4+𝐵5
| 𝑛=0 | 1 |
| 𝑛=1 | 1 1 |
| 𝑛=2 | 1 2 1 |
| 𝑛=3 | 1 3 3 1 |
| 𝑛=4 | 1 4 6 4 1 |
| 𝑛=5 | 1 5 10 10 5 1
|
| … | … |
Nhận xét:
- Hệ số của số đầu và số cuối luôn bằng 1
- hệ số của số hạng nhì và số hạng kế số hạng cuối luôn bằng n
- Tổng các số mũ của A và B trong mỗi số hạng đều bằng n
- Các hệ số cách đều hai đầu thì bằng nhau ( có tính đối xứng)
- Mỗi số của một dòng (trừ số đầu và số cuối) đều bằng tổng của số liền trên nó cộng với số bên trái của số liền trên đó
Nhờ đó, suy ra:
(𝐴+𝐵)6=𝐴6+6𝐴5𝐵+15𝐴4𝐵2+20𝐴3𝐵3+15𝐴2𝐵4+6𝐴𝐵5+𝐵6
Bảng các hệ số bên trên gọi là Tam giác Pascal (nhà toán học Pascal (1623-1662)).
Nhà bác học lỗi lạc Newton (1643-1727) đã đưa ra công thức tổng quát sau:
(𝐴+𝐵)𝑛=𝐴𝑛+𝑛𝐴𝑛−1𝐵+𝑛(𝑛−1)1.2𝐴𝑛−2𝐵2+𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)1.2.3𝐴𝑛−3𝐵3+…+𝑛(𝑛−1)1.2𝐴2𝐵𝑛−2+𝑛𝐴𝐵𝑛−1+𝐵𝑛
Trên đây là kiến thức tổng hợp về hằng đẳng thức cơ bản và nâng cao với kiến thức mở rộng, hy vọng cung cấp cho các bạn những kiến thức hữu ích trong quá trình học tập của bản thân. Nếu thấy bài viết chủ đề hằng đẳng thức mở rộng này thú vị, đừng quên share lại nha các bạn! Chúc các bạn luôn học tốt!