Diện tích hình phẳng là gì?
Trong đời sống thực tiễn cũng như khoa học kĩ thuật thì chúng ta cần phải tính diện tích của những hình phẳng phức tạp mà các công thức thông thường không thể tính toán được. Ví dụ: Diện tích của mặt hồ tự nhiên, thiết diện cắt ngang của một dòng sông… Vì thế ta cần áp dụng tích phân để có thể tính được diện tích của những hình phức tạp đó.
Công thức tính diện tích hình phẳng cơ bản
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các trục tọa độ
Nếu hàm số 𝑦=𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎;𝑏] thì diện tích 𝑆 của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦=𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥=𝑎,𝑥=𝑏 là :
\(S=\int_{a}^{b} |f(x)|dx\)
Ví dụ:
Tính diện tích 𝑆 của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦\(y=x^3 -x\), đường thẳng 𝑥=2, trục tung và trục hoành
Cách giải:
Vì trục tung có phương trình tọa độ là 𝑥=0 nên áp dụng công thức nêu trên ta có :
\(S=\int_{0}^{2} |x^3-x|dx\)
Vì \(\left\{\begin{matrix} x^3-x \leq 0 \hspace{5mm} \forall \hspace{5mm} 0 \leq x \leq 1\\ x^3-x \geq 0 \hspace{5mm} \forall \hspace{5mm} 1 \leq x \leq 2 \end{matrix}\right.\)
Nên ta có :
\(S = \int_{0}^{1}(x-x^3)dx + \int_{1}^{2} (x^3-x)dx\)
\(S = (\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}) \bigg|_{0}^{1} + (\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}) \bigg|_{1}^{2}\)
\(S = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} =\frac{5}{2}\) (đvdt)
Công thức tổng quát tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
Công thức tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi 𝑦=𝑓(𝑥) , 𝑦=𝑔(𝑥) liên tục trên [𝑎;𝑏] và hai đường thẳng 𝑥=𝑎 , 𝑥=𝑏 :
\(S=\int_{a}^{b} |f(x)-g(x)|dx\)
Ví dụ:
Tìm diện tích hình phẳng 𝑆 được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y= x^2+2\) và 𝑦=3𝑥
Cách giải:
Đầu tiên, ta sẽ hoành độ giao điểm của hai hàm số trên bằng cách giải phương trình :
\(x^2 +2 =3x\)
\(\Leftrightarrow x^2-3x+2 =0 \Leftrightarrow (x-1)(x-2) =0\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ x=2 \end{matrix}\right.\)
Vậy hình phẳng 𝑆 được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y= x^2+2\) , \(y = 3x\) và hai đường thẳng 𝑥=1 , 𝑥=2
Áp dụng công thức trên ta có:
\(S= \int_{1}^{2} | x^2-3x+2|dx\)
\(=\int_{1}^{2}(3x-x^2-2)dx\)
\(=(\frac{3x^2}{2} -\frac{x^3}{3} -2x) \bigg|_{1}^{2}=\frac{1}{6}\)(đvdt)