Khái niệm phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là gì? Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có tham số? Cách lập bảng xét dấu giá trị tuyệt đối? Ví dụ và cách giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối như nào? Cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề trên qua bài viết dưới đây nhé!

Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là gì?

Tìm hiểu phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng ta cần nắm được kiến thức về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

Nhắc lại về giá trị tuyệt đối

  • Giá trị tuyệt đối của số x, kí hiệu là \(\left | x \right |\) được định nghĩa như sau:

\(\left | x \right | = \left\{\begin{matrix} x \, khi\, x\geq 0\\ – x\, khi\, x = 0 \end{matrix}\right.\)

Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

  • Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là phương trình có dạng:

\(\left | f(x) \right | = \left | g(x) \right |\) hoặc \(\left | f(x) \right | = g(x)\)

  • Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối, bằng cách:
  • Dùng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối.
  • Bình phương hai vế của phương trình.
  • Đặt ẩn phụ.

hình ảnh minh họa phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài tập phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và cách giải

Dạng 1: Giải phương trình \(\left | f(x) \right | = b\, (b\geq 0)\)

Phương pháp :

\(\left | f(x) \right | = b \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left | f(x) \right | = b\\ \left | f(x) \right | = -b \end{matrix}\right.\)

Ví dụ 1: Giải phương trình \(\left | 3x + 1 \right | = 5\)

Giải:

\(\left | 3x+1 \right | = 5 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 3x+1 =5\\ 3x+1 = -5 \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \frac{4}{3} \\ x = -2 \end{array}\right.\)

Dạng 2: Giải phương trình \(\left | f(x) \right | = g(x)\)

Phương pháp :

  • Cách 1:

\(\left | f(x) \right | = g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x) \geq 0\\ f(x) = \pm g(x) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x) \geq 0\\ \left[\begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) = -g(x) \end{array}\right. \end{matrix}\right.\)

  • Cách 2:

\(\left | f(x) \right | = g(x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} f(x) \geq 0\\ f(x) = g(x) \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} f(x) < 0\\ -f(x) = g(x) \end{matrix}\right. \end{array}\right.\)

Ví dụ 2: Giải phương trình \(\left | 2-3x \right | = \left | 5-2x \right |\)

Giải:

\(\left | 2-3x \right | = \left | 5-2x \right | \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2-3x = 5-2x \\ 2-3x=-(5-2x) \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=-3 \\ x=\frac{7}{5} \end{array}\right.\)

Dạng 3: Giải phương trình \(\left | f(x) \right | + \left | g(x) \right | = b\)

Phương pháp:

  • Cách 1:

Bước 1: Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối

Bước 2: Giải các phương trình theo các khoảng trong bảng

  • Cách 2: Đưa về 4 trường hợp sau:

\(TH1:\, \left\{\begin{matrix} f(x) \geq 0\\ g(x)\geq 0 \end{matrix}\right.\)

Ta giải phương trình \(f(x) + g(x) = b\)

\(TH2:\,\left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0\\ g(x)<0 \end{matrix}\right.\)

Ta giải phương trình \(f(x) – g(x) = b\)

\(TH3:\,\left\{\begin{matrix} f(x)<0\\ g(x)\geq 0 \end{matrix}\right.\)

Ta giải phương trình \(-f(x) + g(x) = b\)

\(TH3:\,\left\{\begin{matrix} f(x)<0\\ g(x)< 0 \end{matrix}\right.\)

Ta giải phương trình \(-f(x) – g(x) = b\)

Ví dụ 3: Giải phương trình \(\left | x+1 \right | + \left | x-1 \right | = 10\) (*)

Giải:

TH1: \(\left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ x-1\geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x\geq 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow x\geq 1\)

\(\Rightarrow (*) \Leftrightarrow x+1+x-1=10 \Leftrightarrow x=5\) thỏa mãn điều kiện \(x \geq -1\)

TH2: \(\left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ x-1<0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x< 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow -1\leq x<1\)

\(\Rightarrow (*) \Leftrightarrow x+1-x+1=10 \Leftrightarrow 2=10\) (vô lý)

\(\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm

TH3: \(\left\{\begin{matrix} x+1<0\\ x-1\geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x< -1\\ x\geq 1 \end{matrix}\right.\) (không xảy ra)

TH4: \(\left\{\begin{matrix} x+1<0\\ x-1< 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x< -1\\ x< 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow x <-1\)

\(\Rightarrow (*) \Leftrightarrow -(x+1)-(x-1)=10 \Leftrightarrow x=-5\) thỏa điều kiện \(x < -1\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 5 và x = -5

Dạng 4: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp:

  • Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình, bất phương trình.
  • Bước 2: Lập bảng xét dấu các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối từ đó chia trục số thành những khoảng sao cho trong mỗi khoảng đó các biểu thức dưới dấu trị tuyệt đối chỉ nhận một dấu xác định.
  • Bước 3: Giải (hoặc biện luận) phương trình, bất phương trình trên mỗi khoảng đã chia.
  • Bước 4: Kết luận.

Ví dụ 4: Giải bất phương trình \(\frac{\left | x-2 \right |}{x^2 – 5x +6} \geq 3\)

Giải:

Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng:

\(\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} x-2 > 0\\ \frac{1}{x-3} \geq 3 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x-2<0\\ \frac{1}{3-x} \geq 3 \end{matrix}\right. \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} x> 2\\ \frac{10-3x}{x-3} \geq 0 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x<2\\ \frac{3x-8}{3-x} \geq 0 \end{matrix}\right. \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow 3<x\leq \frac{10}{3}\)

Vậy, nghiệm của bất phương trình là \(3<x\leq \frac{10}{3}\)

Trên đây là những kiến thức hữu ích về chủ đề phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cũng như phương pháp giải một số dạng toán cơ bản. Hy vọng có thể cung cấp cho các bạn những thông tin cần thiết phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu của bản thân về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Chúc bạn học tốt!

Please follow and like us:
 

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *