Phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Phương trình đường tròn tiếp xúc với 1 đường thẳng

Dạng 1: Đường tròn \((C)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với đường thẳng \(Δ\)

Khi đó bán kính \(R=d(I,Δ)\)

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn \((C)\) có tâm \(I(-1,2)\) tiếp xúc với đường thẳng  \(Δ x – 2y + 7 = 0\)

Giải: Ta có \(d(I,\Delta)=\frac{|-1-4-7|}{\sqrt{5}}\)

Phương trình đường tròn \((C)\) có dạng \((x+1)^2+(y-2)^2=\frac{4}{5}\)

Dạng 2: Đường tròn \((C)\) đi qua hai điểm \(A, B\) và tiếp xúc với đường thẳng \(Δ\)

• Viết phương trình đường trung trực \(d\) của đoạn \(AB\)
• Tâm \(I\) của \((C)\) thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} I \epsilon d & \\ d(I, \Delta ) = IA & \end{matrix}\right.\)
• Bán kính \(R = IA\)

Ví dụ 2: Cho điểm \(A(-1;0), B(1;2)\) và đường thẳng \((d): x – y – 1 = 0\). Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm \(A, B\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\).

Giải: Gọi \(I(x,y)\) là tâm của đường tròn cần tìm. Từ điều kiện đề bài ta có:

\(IA = IB = r ⇔\)  \((x+1)^2+y^2= (x-1)^2+(y-2)^2\)

\(IA = d(I,d) ⇔\) \(\sqrt{(x+1)^2+y^2}=\frac{|x-1-y|}{\sqrt{2}}\)

Giải hệ gồm 2 phương trình (1) và (2) ta được \(x = 0, y = 1\)

Vậy \( I(0,1) IA = r = \)\(\sqrt{2}\)

Phương trình đường tròn \((C)\) có dạng \(x^2+(y-1)^2 = 2\)

Dạng 3: Đường tròn \((C)\) đi qua điểm \(A\) và tiếp xúc với đường thẳng \(Δ\) tại điểm \(B\).

• Viết phương trình đường trung trực \(d\) của đoạn \(AB\)
• Viết phương trình đường thẳng \(Δ'\) đi qua \(B\) và \(⊥Δ\)
• Xác định tâm \(I\) là giao điểm của \(d\) và \(Δ'\)
• Bán kính \(R = IA\)

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn \((C)\) tiếp xúc với trục hoành tại \(A(6,0)\) và đi qua điểm \(B(9,9)\)

Giải: Gọi \(I(a,b)\) là tâm đường tròn \((C)\)

Vì \((C)\) tiếp xúc với trục hoành tại \(A(6;0)\) nên \(Iϵd:x=6\)

Mặt khác \(B\) nằm trên đường tròn \((C)\) nên \(I\) sẽ nằm trên trung trực của \(AB\)

Ta có phương trình trung trực \(AB: x + 3y – 21 = 0\)

Thay \(x = 6 => y = 5\)
Suy ra ta tìm được tọa độ điểm \(I(6;5), R = 5\)

Vậy phương trình đường tròn \((C)\): \((x-6)^{2} + (y – 5)^{2} = 25\)

>> Xem thêm: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn và các dạng bài tập – Toán học 12

Phương trình đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng

Dạng 1: Đường tròn \((C)\) đi qua điểm \(A\) và tiếp xúc với hai đường thẳng \(Δ_1,Δ_2\)

• Tâm I của \((C)\) thỏa mãn: \(\left\{\begin{matrix} d(I,\Delta _{1}) = d(I,\Delta _{2})& \\ d(I,\Delta _{1}) = IA & \end{matrix}\right.\)
• Bán kính \(R = IA\)

Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng \(7x – 7y – 5 = 0\) và \(x + y + 13 = 0\). Biết đường tròn tiếp xúc với một trong hai đường thẳng tại \(M (1,2)\).

Giải: Gọi \(I(x,y)\) là tâm đường tròn cần tìm. Ta có khoảng cách từ \(I\) đến \(2\) tiếp điểm bằng nhau nên \(\frac{|7x-7y-5|}{\sqrt{5}} = \frac{\left | x + y + 13 \right |}{\sqrt{1}}\) (1)

và \(\frac{|x+y+13|}{\sqrt{2}}=\sqrt{(1-x)^2+(2-y)^2}\) (2)

Giải hệ gồm 2 phương trình (1) và (2) ta được

• TH1: \(x = 29, y = – 2 => R = IM =\) \(20\sqrt{2}\)

Phương trình đường tròn có dạng \((x-29)^2+(y+2)^2=800\)

• TH2: \(x = – 6, y = 3 => R =\) \(5\sqrt{2}\)

Phương trình đường tròn có dạng \((x+6)^2+(y-2)^2=50\)

Dạng 2: Đường tròn \((C)\) tiếp xúc với hai đường thẳng \(Δ_1,Δ_2\) và có tâm nằm trên đường thẳng \(d\).

• Tâm \(I\) của \((C)\) thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} d(I,\Delta _{1}) = d(I,\Delta _{2})& \\ I\epsilon d & \end{matrix}\right.\)
• Bán kính \(R = d(I,\Delta _{1})\)

Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn đi qua \(A(2,-1)\) và tiếp xúc với hai trục tọa độ

Giải: Gọi \(I(a,b)\) là tâm của đường tròn \((C)\)

Do \((C)\) tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên \(I\) cách đều 2 trục tọa độ. Suy ra: \(|a| = |b|\)

Nhận xét: Do đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên cả hình tròn nằm trong 1 trong 4 góc của hệ trục, lại có \(A(2, -1)\) thuộc phần tư thứ IV

=> Tâm \(I\) thuộc phần tư thứ \(IV => a > 0, b < 0\)

Như vậy tọa độ tâm là \(I(a, -a)\), bán kính \(R = a\), với \(a > 0\)

Ta có phương trình đường tròn \((C)\) có dạng \((x−a)^2+(y+a)^2=a^2\)

Do \(A (-2;1)\) thuộc đường tròn \((C)\) nên thay tọa độ của \(A\) vào phương trình \((C)\) ta được: \((2−a)^2+(1+a)^2=a^2\)

Giải phương trình ta được \(a = 1\) hoặc \(a=5\)

• Với \(a = 1\) ta có phương trình \((C): (x−1)^2+(y+1)^2=1\)
• Với \(a = 5\) ta có phương trình \((C): (x−5)^2+(y+5)^2=5^2\)

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng. Nếu có băn khoăn, thắc mắc hay góp ý xây dựng bài viết các bạn để lại bình luận bên dưới nha. Cảm ơn bạn, thấy hay thì đừng quên chia sẻ nhé <3