Phương trình đường tròn tiếp xúc với 1 đường thẳng

Dạng 1: Đường tròn (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\)

Khi đó bán kính \(R = d (I, \Delta )\)

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I(-1,2) tiếp xúc với đường thẳng  \(\Delta\) x – 2y + 7 = 0

Giải: Ta có \(d(I,\Delta)=\frac{|-1-4-7|}{\sqrt{5}}\)

Phương trình đường tròn (C) có dạng \((x+1)^2+(y-2)^2=\frac{4}{5}\)

Dạng 2: Đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\)

  • Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
  • Tâm I của (C) thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} I \epsilon d & \\ d(I, \Delta ) = IA & \end{matrix}\right.\)
  • Bán kính R = IA

Ví dụ 2: Cho điểm A(-1;0), B(1;2) và đường thẳng (d): x – y – 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d.

Giải: Gọi I(x,y) là tâm của đường tròn cần tìm. Từ điều kiện đề bài ta có:

IA = IB = r \(\Leftrightarrow\)  \((x+1)^2+y^2= (x-1)^2+(y-2)^2\) (1)

IA = d(I,d) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{(x+1)^2+y^2}=\frac{|x-1-y|}{\sqrt{2}}\) (2)

Giải hệ gồm 2 phương trình (1) và (2) ta được x = 0, y = 1

Vậy I(0,1) IA = r = \(\sqrt{2}\)

Phương trình đường tròn (C) có dạng \(x^2+(y-1)^2 = 2\)

Dạng 3: Đường tròn (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\) tại điểm B.

  • Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
  • Viết phương trình đường thẳng \(\Delta ‘\) đi qua B và \(\perp \Delta\)
  • Xác định tâm I là giao điểm của d và \(\Delta ‘\)
  • Bán kính R = IA

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(6,0) và đi qua điểm B(9,9)

Giải: Gọi I(a,b) là tâm đường tròn (C)

Vì (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(6;0) nên \(I \epsilon d: x = 6\)

Mặt khác B nằm trên đường tròn (C) nên I sẽ nằm trên trung trực của AB

Ta có phương trình trung trực AB: x + 3y – 21 = 0

Thay x = 6 => y = 5
Suy ra ta tìm được tọa độ điểm I(6;5), R = 5

Vậy phương trình đường tròn (C): \((x-6)^{2} + (y – 5)^{2} = 25\)

>> Xem thêm: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn và các dạng bài tập – Toán học 12

Phương trình đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng

Dạng 1: Đường tròn (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng \(\Delta _{1}, \Delta _{2}\)

  • Tâm I của (C) thỏa mãn: \(\left\{\begin{matrix} d(I,\Delta _{1}) = d(I,\Delta _{2})& \\ d(I,\Delta _{1}) = IA & \end{matrix}\right.\)
  • Bán kính R = IA

Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7y – 5 = 0 và x + y + 13 = 0. Biết đường tròn tiếp xúc với một trong hai đường thẳng tại M (1,2).

Giải: Gọi I(x,y) là tâm đường tròn cần tìm. Ta có khoảng cách từ I đến 2 tiếp điểm bằng nhau nên \(\frac{|7x-7y-5|}{\sqrt{5}} = \frac{\left | x + y + 13 \right |}{\sqrt{1}}\) (1)

và \(\frac{|x+y+13|}{\sqrt{2}}=\sqrt{(1-x)^2+(2-y)^2}\) (2)

Giải hệ gồm 2 phương trình (1) và (2) ta được

  • TH1: x = 29, y = – 2 => R = IM = \(20\sqrt{2}\)

Phương trình đường tròn có dạng \((x-29)^2+(y+2)^2=800\)

  • TH2: x = – 6, y = 3 => R = \(5\sqrt{2}\)

Phương trình đường tròn có dạng \((x+6)^2+(y-2)^2=50\)

Dạng 2: Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng \(\Delta _{1}, \Delta _{2}\) và có tâm nằm trên đường thẳng d.

  • Tâm I của (C) thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} d(I,\Delta _{1}) = d(I,\Delta _{2})& \\ I\epsilon d & \end{matrix}\right.\)
  • Bán kính \(R = d(I,\Delta _{1})\)

Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn đi qua A(2,-1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ

Giải: Gọi I(a,b) là tâm của đường tròn (C)

Do (C) tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên I cách đều 2 trục tọa độ. Suy ra: |a| = |b|

Nhận xét: Do đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên cả hình tròn nằm trong 1 trong 4 góc của hệ trục, lại có A(2, -1) thuộc phần tư thứ IV

=> Tâm I thuộc phần tư thứ IV => a > 0, b < 0

Như vậy tọa độ tâm là I(a, -a), bán kính R = a, với a > 0

Ta có phương trình đường tròn (C) có dạng \((x-a)^2 + (y+a)^2 = a^2\)

Do A (-2;1) thuộc đường tròn (C) nên thay tọa độ của A vào phương trình (C) ta được: \((2-a)^2 + (1+a)^2 = a^2\)

Giải phương trình ta được a = 1 hoặc a=5

  • Với a = 1 ta có phương trình (C) \((x-1)^2 + (y+1)^2 = 1\)
  • Với a = 5 ta có phương trình (C) \((x-5)^2 + (y+5)^2 = 5^2\)

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng. Nếu có băn khoăn, thắc mắc hay góp ý xây dựng bài viết các bạn để lại bình luận bên dưới nha. Cảm ơn bạn, thấy hay thì đừng quên chia sẻ nhé <3

3/5 - (25 bình chọn)
Please follow and like us:

Comments

    1. Uyennt

      Bạn viết PT đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB bằng cách sau nhé.
      Ta có A(6;0), B(9,9), I(x,y) => vector AI = (x-6;y) vector BI = (x-9;y-9)
      Mà I nằm trên trung trực AB nên AI = BI
      => Độ dài vector AI = Độ dài vector BI
      => Căn bậc hai của ((x-6)^2 + y^2) = Căn bậc hai của ((x-9)^2+(y-9)^2)
      Giải phương trình này sẽ ra được pt: x + 3y – 21 = 0 nha.

    1. Uyennt

      Vì đường tròn (C) tiếp xúc với cả 2 trục tọa độ đó em. Nên tâm I sẽ cách đều 2 trục tọa độ.
      Nên bán kính = |a| = a hoặc bán kính = |b| đều được e nhé.
      Xem hình này để dễ hình dung hơn nè.
      null

  1. Aly Chiman

    Hello there,

    My name is Aly and I would like to know if you would have any interest to have your website here at dinhnghia.vn promoted as a resource on our blog alychidesigns.com ?

    We are in the midst of updating our broken link resources to include current and up to date resources for our readers. Our resource links are manually approved allowing us to mark a link as a do-follow link as well
    .
    If you may be interested please in being included as a resource on our blog, please let me know.

    Thanks,
    Aly

  2. Phương Hạnh

    Cho em hỏi : tâm của đường tròn đi qua 3 điểm A(2,1) B(2,5) C(–2,1) làm kiểu gì ạ??

  3. Trường

    cho đường thẳng (d)y=(m-5)x+7 và điểm a(2;4)biết đường thẳng (d) song song với đường thẳng OA (với O là gốc tọa độ).Tìm m

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *