Phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Phương trình đường tròn tiếp xúc với 1 đường thẳng

Dạng 1: Đường tròn (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\)

Khi đó bán kính \(R = d (I, \Delta )\)

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I(-1,2) tiếp xúc với đường thẳng  \(\Delta\) x – 2y + 7 = 0

Giải: Ta có \(d(I,\Delta)=\frac{|-1-4-7|}{\sqrt{5}}\)

Phương trình đường tròn (C) có dạng \((x+1)^2+(y-2)^2=\frac{4}{5}\)

Dạng 2: Đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\)

• Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
• Tâm I của (C) thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} I \epsilon d & \\ d(I, \Delta ) = IA & \end{matrix}\right.\)
• Bán kính R = IA

Ví dụ 2: Cho điểm A(-1;0), B(1;2) và đường thẳng (d): x – y – 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d.

Giải: Gọi I(x,y) là tâm của đường tròn cần tìm. Từ điều kiện đề bài ta có:

IA = IB = r \(\Leftrightarrow\)  \((x+1)^2+y^2= (x-1)^2+(y-2)^2\) (1)

IA = d(I,d) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{(x+1)^2+y^2}=\frac{|x-1-y|}{\sqrt{2}}\) (2)

Giải hệ gồm 2 phương trình (1) và (2) ta được x = 0, y = 1

Vậy I(0,1) IA = r = \(\sqrt{2}\)

Phương trình đường tròn (C) có dạng \(x^2+(y-1)^2 = 2\)

Dạng 3: Đường tròn (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\) tại điểm B.

• Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
• Viết phương trình đường thẳng \(\Delta ‘\) đi qua B và \(\perp \Delta\)
• Xác định tâm I là giao điểm của d và \(\Delta ‘\)
• Bán kính R = IA

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(6,0) và đi qua điểm B(9,9)

Giải: Gọi I(a,b) là tâm đường tròn (C)

Vì (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(6;0) nên \(I \epsilon d: x = 6\)

Mặt khác B nằm trên đường tròn (C) nên I sẽ nằm trên trung trực của AB

Ta có phương trình trung trực AB: x + 3y – 21 = 0

Thay x = 6 => y = 5
Suy ra ta tìm được tọa độ điểm I(6;5), R = 5

Vậy phương trình đường tròn (C): \((x-6)^{2} + (y – 5)^{2} = 25\)

>> Xem thêm: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn và các dạng bài tập – Toán học 12

Phương trình đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng

Dạng 1: Đường tròn (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng \(\Delta _{1}, \Delta _{2}\)

• Tâm I của (C) thỏa mãn: \(\left\{\begin{matrix} d(I,\Delta _{1}) = d(I,\Delta _{2})& \\ d(I,\Delta _{1}) = IA & \end{matrix}\right.\)
• Bán kính R = IA

Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7y – 5 = 0 và x + y + 13 = 0. Biết đường tròn tiếp xúc với một trong hai đường thẳng tại M (1,2).

Giải: Gọi I(x,y) là tâm đường tròn cần tìm. Ta có khoảng cách từ I đến 2 tiếp điểm bằng nhau nên \(\frac{|7x-7y-5|}{\sqrt{5}} = \frac{\left | x + y + 13 \right |}{\sqrt{1}}\) (1)

và \(\frac{|x+y+13|}{\sqrt{2}}=\sqrt{(1-x)^2+(2-y)^2}\) (2)

Giải hệ gồm 2 phương trình (1) và (2) ta được

• TH1: x = 29, y = – 2 => R = IM = \(20\sqrt{2}\)

Phương trình đường tròn có dạng \((x-29)^2+(y+2)^2=800\)

• TH2: x = – 6, y = 3 => R = \(5\sqrt{2}\)

Phương trình đường tròn có dạng \((x+6)^2+(y-2)^2=50\)

Dạng 2: Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng \(\Delta _{1}, \Delta _{2}\) và có tâm nằm trên đường thẳng d.

• Tâm I của (C) thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} d(I,\Delta _{1}) = d(I,\Delta _{2})& \\ I\epsilon d & \end{matrix}\right.\)
• Bán kính \(R = d(I,\Delta _{1})\)

Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn đi qua A(2,-1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ

Giải: Gọi I(a,b) là tâm của đường tròn (C)

Do (C) tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên I cách đều 2 trục tọa độ. Suy ra: |a| = |b|

Nhận xét: Do đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên cả hình tròn nằm trong 1 trong 4 góc của hệ trục, lại có A(2, -1) thuộc phần tư thứ IV

=> Tâm I thuộc phần tư thứ IV => a > 0, b < 0

Như vậy tọa độ tâm là I(a, -a), bán kính R = a, với a > 0

Ta có phương trình đường tròn (C) có dạng \((x-a)^2 + (y+a)^2 = a^2\)

Do A (-2;1) thuộc đường tròn (C) nên thay tọa độ của A vào phương trình (C) ta được: \((2-a)^2 + (1+a)^2 = a^2\)

Giải phương trình ta được a = 1 hoặc a=5

• Với a = 1 ta có phương trình (C) \((x-1)^2 + (y+1)^2 = 1\)
• Với a = 5 ta có phương trình (C) \((x-5)^2 + (y+5)^2 = 5^2\)

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng. Nếu có băn khoăn, thắc mắc hay góp ý xây dựng bài viết các bạn để lại bình luận bên dưới nha. Cảm ơn bạn, thấy hay thì đừng quên chia sẻ nhé <3