Phương trình trùng phương là một dạng phương trình thường gặp trong chương trình toán THCS. Vậy phương trình trùng phương là gì? Cách giải phương trình trùng phương lớp 9? Công thức phương trình trùng phương?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!. 

Phương trình trùng phương là gì?

Phương trình trùng phương theo định nghĩa là phương trình bậc \( 4 \) có dạng :

\( ax^4 +bx^2+c =0 \) với \( a \neq 0 \)

Chúng ta nhận thấy đây thực chất là phương trình bậc \( 2 \) với ẩn là \( x^2 \)

lý thuyết và bài tập về phương trình trùng phương

Số nghiệm của phương trình trùng phương

Cho phương trình trùng phương có dạng:

\( ax^4+bx^2+c=0 \) với \( a \neq 0 \).

\( \Delta = b^2-4ac \)

Khi đó:

  • Phương trình trùng phương có 1 nghiệm \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=0\\ \frac{b}{a} \leq 0 \end{matrix}\right.\) và nghiệm đó \( = 0 \)
  • Phương trình trùng phương có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta =0 \\\frac{b}{a} <0 \end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} \Delta >0 \\\frac{c}{a} <0 \end{matrix}\right.\)
  • Phương trình trùng phương có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=0 \\\frac{b}{a} <0 \end{matrix}\right.\) và trong đó có một nghiệm \( = 0 \)
  • Phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta >0 \\ \frac{b}{a} <0 \\ \frac{c}{a} >0 \end{matrix}\right.\). Khi đó tổng \( 4 \) nghiệm \( =0 \) và tích \( 4 \) nghiệm bằng \(\frac{c}{a}\)
  • Phương trình trùng phương vô nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta <0\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0 \\\frac{b}{a} >0 \\ \frac{c}{a} <0 \end{matrix}\right.\)

số nghiệm của phương trình trùng phương

Ví dụ về phương trình trùng phương lớp 9

ví dụ về phương trình trùng phương

Thí dụ 2: Cho phương trình \( mx^4 -2(m-1)x^2+m-1 =0 \)

Tìm \( m \) để phương trình

  1. Có nghiệm duy nhất
  2. Có hai nghiệm phân biệt
  3. Có ba nghiệm phân biệt
  4. Có bốn nghiệm phân biệt

Cách giải :

Ta có \( \Delta’ = (m-1)^2-m(m-1)=1-m \)

Áp dụng công thức trên ta có :

  • Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\left\{\begin{matrix} m-1=0\\ \frac{m-1}{m} \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m=1\)
  • Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} 1-m =0 \\\frac{m-1}{m} >0 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} 1-m >0 \\\frac{m-1}{m} <0 \end{matrix}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow m \in (0;1)\)
  • Để phương trình có ba nghiệm phân biệt thì \(\left\{\begin{matrix} m-1=0 \\\frac{m-1}{m} >0 \end{matrix}\right.\) ( vô lý ). Vậy không tồn tại giá trị của \( m \) để phương trình có ba nghiệm phân biệt
  • Để phương trình có bốn nghiệm phân biệt thì \(\left\{\begin{matrix} 1-m >0 \\ \frac{m-1}{m} >0 \\ \frac{m-1}{m} >0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m \in (-\infty;0)\)

Các bước giải phương trình trùng phương lớp 9

Để giải phương trình \( ax^4 +bx^2+c =0 \) với \( a \neq 0 \) ta làm theo các bước sau đây:

  • Bước 1: Đặt \( t=x^2 \). Điều kiện \( t\geq 0 \)
  • Bước 2: Giải phương trình bậc hai \( at^2+bt +c =0 \) tìm ra \( t \)
  • Bước 3: Với mỗi giá trị của \( t \) thỏa mãn điều kiện \( t\geq 0 \), giải phương trình \( x^2=t \)
  • Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu

***Chú ý: Đối với các bài toán phương trình trùng phương lớp 9 thì ta cần thực hiện đầy đủ các bước trên, còn các bài toán phương trình trùng phương lớp 12 thì ta có thể bỏ đi bước thứ nhất để lời giải nhanh gọn

Ví dụ 1:

Giải phương trình \( x^4 -5x^2+4 =0 \)

Cách giải:

Đặt \( t= x^2 \). Điều kiện \( t \geq 0 \)

Khi đó phương trình đã cho trở thành :

\( t^2-5t+4=0 \)

\(\Leftrightarrow (t-1)(t-4)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=1 \\t=4 \end{array}\right.\)

Vậy nên:

\(\left[\begin{array}{l}x^2=1 \\x^2=4 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\pm 1\\ x=\pm 2\end{array}\right.\)

Vậy phương trình đã cho có \( 4 \) nghiệm phân biệt : \( x= -1;1;-2;2 \)

Một số phương trình trùng phương biến đổi \(x\rightarrow \frac{1}{x}\) hoặc các biểu thức chứa căn thì đầu tiên ta cần tìm điều kiện của phương trình trùng phương rồi mới tiến hành giải

Ví dụ 2:

Giải phương trình:

\(\frac{1}{x^4}-\frac{5}{x^2}+6=0\)

Cách giải:

Điều kiện: \( x \neq 0 \)

Phương trình đã cho tương đương với :

\((\frac{1}{x^2}-3)(\frac{1}{x^2}-2)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \frac{1}{x^2}=3\\ \frac{1}{x^2}=2\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \frac{1}{x}=\pm \sqrt{3}\\ \frac{1}{x}=\pm \sqrt{2}\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\\ x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right.\) ( thỏa mãn )

Vậy phương trình đã cho có \( 4 \) nghiệm phân biệt \(x=-\frac{1}{\sqrt{2}};-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Giải phương trình số phức bậc 4 trùng phương

Đây là một dạng phương trình trùng phương nâng cao trong chương trình Toán lớp 12. Để giải bài toán này thì ta cần nhắc lại một số kiến thức về số phức

  • Biểu thức dạng \( a+bi \) với \(a;b \in \mathbb{R}\) và \( i^2=-1 \) được gọi là một số phức với \( a \) là phần thực và \( b \) là phần ảo
  • Phương trình bậc hai \( ax^2+bx+c =0\) với \( Delta <0 \) có hai nghiệm phức là \(\frac{-b\pm i\sqrt{\Delta}}{2a}\)

Như vậy một phương trình bậc \( 4 \) trùng phương luôn có đủ \( 4 \) nghiệm. Đó có thể là nghiệm thực, nghiệm kép và nghiệm phức

Để giải phương trình số phức bậc 4 trùng phương, ta tiến hành các bước sau đây :

  • Bước 1: Đặt \( t=x^2 \). Điều kiện \( t\geq 0 \)
  • Bước 2: Giải phương trình bậc hai \( at^2+bt +c =0 \) tìm ra \( t \) (tìm cả nghiệm phức)
  • Bước 3: Với mỗi giá trị của \( t [/latex, giải phương trình [latex] x^2=t \)
  • Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu

 Ví dụ 3:

Giải phương trình : \( x^4-x^2-2 =0 \)

Cách giải:

Phương trình đã cho tương đương với :

\( (x^2+1)(x^2-2) -0 \)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x^2=-1 \\x^2=2 \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=i \\x=\pm \sqrt{2} \end{array}\right.\)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm : \(-\sqrt{2};\sqrt{2};i\)

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải phương trình trùng phương lớp 9. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chủ đề phương trình trùng phương lớp 9. Chúc bạn luôn học tốt!.

Xem thêm:

Tu khoa lien quan:

  • phương trình trùng phương lớp 12
  • giải bất phương trình trùng phương
  • phương trình trùng phương nâng cao
  • phương trình trùng phương nâng cao
  • phương trình trùng hợp caprolactam
  • các bước giải phương trình trùng phương
  • điều kiện của phương trình trùng phương
  • thuật toán giải phương trình trùng phương
  • phương trình trùng phương vô nghiệm khi nào
Please follow and like us:
 
Tagged:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *