tìm hiểu về thiết diện hình trụ là gì

Thiết diện là một dạng toán khó và thường gặp trong chương trình Toán THPT. Vậy thiết diện là gì? Công thức tính thiết diện Cách xác định thiết diện của hình hộp như nào? Lý thuyết cách xác định thiết diện trong quan hệ song song, vuông góc? Các dạng bài tập về diện tích thiết diện?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề thiết diện là gì, cùng tìm hiểu nhé!

Định nghĩa thiết diện là gì?

Cho hình \(\mathbb{T}\) và mặt phẳng \( (P) \), phần mặt phẳng của \( (P) \) nằm trong \(\mathbb{T}\) được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do \( (P) \) cắt một số mặt của \(\mathbb{T}\) được gọi là thiết diện.

Theo cách khác, thiết diện được định nghĩa là các đoạn giao tuyến giữa mặt phẳng và hình chóp khi nối nhau sẽ tạo ra một đa giác phẳng. Đó chính là thiết diện (hay còn gọi là mặt cắt) của mặt phẳng với hình chóp đó. 

Ví dụ 1: Cho hình chóp \( S.ABCD \). Lấy \( M \) là trung điểm \( SA \). Khi đó mặt phẳng \( (P) \) đi qua \( M \) và song song với mặt phẳng đáy sẽ cắt hình chóp. Thiết diện là tứ giác \( MNPQ \) với \( N,P,Q \) lần lượt là trung điểm \( SB,SC,SD \)

định nghĩa thiết diện là gì

Cách xác định thiết diện trong quan hệ song song và vuông góc

Từ định nghĩa thiết diện là gì, chúng ta cùng nhau tìm hiểu về cách xác định thiết diện trong quan hệ song song, vuông góc. Nhìn chung, để tìm thiết diện tạo bởi hình \(\mathbb{T}\) và mặt phẳng \( (P) \) ta làm như sau :

  • Bước 1: Tìm giao điểm của mặt phẳng \( (P) \) với các cạnh của hình \(\mathbb{T}\). Ta có thể tìm giao điểm của \( (P) \) với các mặt của hình \(\mathbb{T}\) rồi từ đó xác định các giao điểm với các cạnh.
  • Bước 2: Nối các giao điểm tìm được ở trên. Hình đa diện được tạo bởi các đa diện đó chính là thiết diện cần tìm.

Chú ý: Để tìm thiết diện chúng ta sẽ cần sử dụng một số quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

  • Cho đường thẳng \( d \in ( P) \). Mặt phẳng \( (Q) \) song song với \( d \) và cắt \( (P) \) tại giao tuyến là đường thẳng \( d’ \). Khi đó \( d || d’ \)
  • Cho hai mặt phẳng \( (P),(Q) \) thỏa mãn : \(\left\{\begin{matrix} (P) \bot (Q) \\ (P) \cap (Q ) =d \end{matrix}\right.\). Khi đó nếu \(\left\{\begin{matrix} d’ \in (P) \\ d’ \bot d \end{matrix}\right. \Rightarrow d’ \bot (Q)\)

Cách xác định thiết diện trong quan hệ song song

Bài toán xác định thiết diện song song với đường thẳng.

kiến thức về thiết diện là gì

thiết diện là gì và hình ảnh minh họa

Ví dụ 2:

Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy \( ABCD \) là hình bình hành. Gọi \( M \) là một điểm bất kì nằm trên \( SA \). Mặt phẳng \( (P) \) đi qua \( M \) và song song với \( AB \) và \( SC \). Xác định thiết diện của \( S.ABCD \) cắt bởi \( (P) \)

Cách giải:

các dạng bài tập thiết diện là gì

Vì \( (P) || AB \) và \( AB \in (SAB) \) nên

\(\Rightarrow\) giao tuyến của \( (P) \) và \( (SAB) \) song song với \( AB \)

Trong mặt phẳng \( (SAB) \) dựng \( MN \) song song với \( AB \). Khi đó \((P) \cap SB =N\)

Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} (P) || SC \\ SC \in (SBC) \end{matrix}\right. \Rightarrow SC || ((P)\cap (SBC))\)

Như vậy : \((P) \cap BC = P\) với \( NP || SC \)

Tương tự:

\(\left\{\begin{matrix} (P) || BC \\ BC \in (ABCD) \end{matrix}\right. \Rightarrow SC || ((P)\cap (ABCD))\)

Như vậy: \((P) \cap AD = Q \) với \( PQ || AB \)

Vậy \( MNPQ \) là thiết diện cần tìm.

Cách xác định thiết diện trong quan hệ vuông góc

Từ khái niện thiết diện là gì, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu qua bài toán xác định thiết diện vuông góc với đường thẳng.

Phương pháp:

Cho mặt phẳng (α) cùng với đường thẳng a không vuông góc với (α). Hãy xác định mặt phẳng (β) chứa a và vuông góc với (α).

Cách giải: 

  • Đầu tiên ta cần chọn một điểm Aa
  • Tiếp theo dựng đường thẳng b đi qua A và vuông góc với (α). Khi đó mp (a,b) chính là mặt phẳng (β).

một số lý thuyết thiết diện là gì

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, bên cạnh đó SA ⊥ (ABCD). Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (SCD). Vậy (α) cắt chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?.

Cách giải:

ví dụ về thiết diện là gì

Diện tích thiết diện là gì?

Diện tích thiết diện là gì? Đây hẳn là câu hỏi được rất nhiều học sinh quan tâm. Diện tích thiết diện theo định nghĩa chính là diện tích phần mặt cắt (thiết diện) được tạo bởi mặt phẳng \( (P) \) và hình \(\mathbb{T}\) như đã nói ở trên.

Cách tính thiết diện? 

Để tính được diện tích thiết diện thì ta cần sử dụng một số công thức tính diện tích hình phẳng như hình tam giác, hình chữ nhật ,… Sau đó ta có thể chia nhỏ thiết diện thành các hình đơn giản trên để tính toán rồi sau đó cộng lại.

Ví dụ 4:

Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy là hình vuông tâm \( O \) và \( AB=a \). Biết rằng \( SA \bot (ABCD) \) và \( SA = a\sqrt{2} \). Mặt phẳng \( (P) \) đi qua \( B \) và vuông góc vuoonlt SC [/latex]. Tính diện tích thiết diện của hình chóp \( S.ABCD \) cắt bởi mặt phẳng \( (P) \)

Cách giải:

thiết diện là gì và cách tính thiết diện

Ta có:

\(SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BD\)

\( BD \bot AC \) ( do là hai đường chéo của hình vuông \( ABCD \) )

\(\Rightarrow BD \bot (SAC)\)

\(\Rightarrow BD \bot SC \;\;\;\; (1)\)

Trong mặt phẳng \( (SAC) \) kẻ \( OE \bot SC \;\;\;\; (2)  \)

Từ \( (1)(2) \Rightarrow (BED) \bot SC \)

Vậy mặt phẳng \( (BED) \) chính là mặt phẳng \( (P) \) và thiết diện cần tìm là tam giác \( BED \)

Vì hình vuông \( ABCD \) có độ dài cạnh \( AB=a \) nên \(\Rightarrow \) đường chéo \( AC = BD = a\sqrt{2} \;\;\;\; (3) \)

Trong mặt phẳng \( (SAC) \) xét tam giác \( SAC \) vuông tại \( A \).

\(\Rightarrow SC = \sqrt{SA^2+AC^2 }=2a\)

\(OC = \frac{AC}{2} =\frac{a}{\sqrt{2}}\)

Xét \(\Delta SAC\) và \(\Delta OEC\) có :

\(\widehat{A} = \widehat{E} =90^{\circ}\)

\(\widehat{C} \) chung

\(\Rightarrow \Delta SAC \sim \Delta OEC\)

Vậy ta có :

\(\frac{OE}{SA} = \frac{OC}{SC} \Rightarrow OE =\frac{OC.SA}{SC}=\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}.a\sqrt{2}}{2a}=\frac{a}{2} \;\;\; (4) \)

Vì \( BD \bot (SAC \) nên \( BD \bot EO \;\;\;\; (5) \)

Từ \( (3)(4)(5) \) ta có :

\(S_{BED}=\frac{BD.EO}{2}=\frac{a\sqrt{2}.\frac{a}{2}}{2}=\frac{a^2}{2\sqrt{2}}\)

Vậy diện tích thiết diện là \(\frac{a^2}{2\sqrt{2}}\) đơn vị diện tích

Công thức tính thiết diện của một số hình đặc biệt

Các ví dụ trên chúng ta đã cùng nói về khái niệm thiết diện là gì, kiến thức thiết diện của hình chóp. Bây giờ chúng ta sẽ nói đến thiết diện của một số hình khối khác.

Cách xác định thiết diện của hình trụ

Định nghĩa hình trụ là gì?

Khi quay một hình chữ nhật quanh một trục cố định, ta được một hình trụ với hai đáy là hai đường tròn bằng nhau.

Ví dụ thiết diện hình trụ 

tìm hiểu về thiết diện hình trụ là gì

  • Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là \( r \) ) bởi một mặt phẳng \( (\alpha ) \) vuông góc với trục \( \Delta \) ( song song với hai mặt đáy ) thì ta được thiết diện là đường tròn có tâm nằm trên \( \Delta \) và có bán kính bằng \( r \)
  • Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là \( r \) ) bởi một mặt phẳng \( (\alpha ) \) không vuông góc với trục \( \Delta \) nhưng cắt tất cả các đường sinh thì ta được thiết diện là một đường Elip có trục nhỏ bằng \( 2r \) và trục lớn bằng \(\frac{2r}{\sin \phi}\) với \(\phi\) là góc giữa trục \( \Delta \) và mặt phẳng \( ( \alpha ) \) và \(0 < \phi< 90^{\circ}\)

Cho mặt phẳng \( ( \alpha ) \)  song song với trục \( \Delta \) của mặt trụ tròn xoay và cách \( \Delta \) một khoảng \( k \) .

  • Nếu \( k<r \) thì mặt phẳng \( ( \alpha ) \)  cắt mặt trụ theo hai đường sinh và thiết diện là hình chữ nhật.
  • Nếu \( k=r \) thì mặt phẳng \( ( \alpha ) \)  tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
  • Nếu \( k >r \) thì mặt phẳng \( ( \alpha ) \)  không cắt mặt trụ.

các định lý về thiết diện

Ví dụ 5:

Một hình trụ có bán kính đáy bằng \( 3a \) và thể tích bằng \( 90\pi a^3 \). Một mặt phẳng song song với trục và cách trục \( 2a \) cắt khối chóp tạo thành một thiết diện. Tính diện tích thiết diện đó

Cách giải:

một số bài tập về thiết diện hình trụ

Do mặt phẳng song song với trục và cách trục \( 2a < 3a=r \) nên \(\Rightarrow\) thiết diện là hình chữ nhật \( ABCD \) với \( AB=CD \) là đường cao của hình trụ

Do đó : \(AB=CD = \frac{V}{S}=\frac{90\pi a^3}{2\pi. 9a^2}=5a\)

Kẻ \( OH \bot BC \). Do tam giác \( OBC \) cân tại \( O \) nên ta có :

\(\left\{\begin{matrix} OH = 2a\\ OB = 3a \end{matrix}\right.\Rightarrow BC =2BH = 2\sqrt{OB^2-OH^2}=2\sqrt{5}a\)

Như vậy diện tích thiết diện :

\(S_{ABCD}=AB.BC= 5a. 2\sqrt{5}a=10\sqrt{5}a^2\) đơn vị diện tích

Cách xác định thiết diện của hình hộp

Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

Hình hộp có \( 6 \) mặt là hình bình hành. Hai mặt đối diện song song và bằng nhau

Hình hộp có \( 12 \) cạnh chia làm \( 3 \) nhóm. Mỗi nhóm gồm \( 4 \) cạnh song song và bằng nhau.

cách xác định thiết diện của hình hộp

Để xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng \( (\alpha) \) thì ta cần sử dụng các quan hệ song song, vuông góc để tìm giao của \( (\alpha) \) với các cạnh của hình hộp.

Ví dụ 6:

Cho hình hộp \( ABCD.A’B’C’D’ \). Trên ba cạnh \( AB, DD’,BB’ \) lần lượt lấy ba điêm \( M,N,P \) thỏa mãn \(\frac{AM}{AB}=\frac{D’N}{D’D}=\frac{B’P}{B’B}\)

Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng \( (MNP) \)

Cách giải:

cách xác định thiết diện trong quan hệ song song

Trên \( AD \) lấy điểm \( E \) sao cho : \(\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AD}\)

\(\Rightarrow ME || BD\)

Vì \(\frac{B’P}{B’B}=\frac{D’N}{D’D}\Rightarrow PN || B’D’\Rightarrow PN || BD\)

\(\Rightarrow ME || PN \Rightarrow E \in (MNP) \;\;\;\; (1)\)

Trên \( B’C’ \) lấy điểm \( F \) sao cho : \(\frac{B’F}{B’C}=\frac{B’P}{B’B}\)

\(\Rightarrow PF || BC’\)

Vì \(\frac{AE}{AD}=\frac{D’N}{D’D}\Rightarrow EN || AD’\Rightarrow EN || BC’\)

\(\Rightarrow PF || EN \Rightarrow F \in (MNP) \;\;\;\; (2)\)

Trên \( C’D’ \) lấy điểm \( K \) sao cho : \(\frac{C’K}{C’D’}=\frac{C’F}{C’B’}\)

\(\Rightarrow KF || B’D’\)

Vì \( PN || B’D’ \Rightarrow PN || KF \Rightarrow K \in (MNP) \;\;\;\; (3)\)

Từ \( (1)(2)(3) \Rightarrow \) thiết diện là lục giác \( MPFKNE \)

Cách tìm thiết diện của hình lập phương

Hình lập phương là một hình hộp đặc biệt, do đó các tìm thiết diện khi cắt hình lập phương bởi mặt phẳng \( (\alpha) \) cũng giống như bài toán tìm thiết diện của hình hộp chữ nhật. Tuy nhiên do tính chất đặc biệt của hình lập phương mà chúng ta có thể sử dụng các tính chất đó để tìm thiết diện một cách dễ dàng hơn

 Ví dụ 7:

Cho hình lập phương \( ABCD.A’B’C’D’ \) có độ dài cạnh bằng \( a \) . Gọi \( M,N,P \) lần lươt là trung điểm \( AD, CD, BB’ \). Tính diện tích thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mặt phẳng \( (MNP) \)

Cách giải:

cách tìm thiết diện của hình lập phương

Xét mặt phẳng \( (ABCD) \). Kéo dài \( MN \) cắt đường thẳng \( AB,BC \) lần lượt tại \( K,H \)

Gọi \(\left\{\begin{matrix} F= PK \cap AA’ \\ E= PH \cap CC’ \end{matrix}\right.\)

Như vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác \( MNEPF \)

Ta có :

\(\left\{\begin{matrix} MN ||AC \\ AM || CH \end{matrix}\right. \Rightarrow AMHC\) là hình bình hành

\(\Rightarrow CH = AM =\frac{a}{2}\)

Tương tự ta được : \(\Rightarrow AK=CH =\frac{a}{2}\)

\(\Rightarrow BK=BH =\frac{3a}{2}\)

Theo định lý Pitago \(\Rightarrow PH=PK =\sqrt{BP^2+BK^2}=\frac{a\sqrt{10}}{2}\)

Do \( AF|| BP \) nên \(\frac{PF}{PK}=\frac{BA}{BK}\Rightarrow PF =\frac{BA.PK}{BK}=\frac{a.\frac{a\sqrt{10}}{2}}{\frac{3a}{2}}=\frac{a\sqrt{10}}{3}\)

Tương tự ta cũng có \(PE=\frac{a\sqrt{10}}{3}\)

Mặt khác \(\frac{AF}{BP}=\frac{KA}{KB}=\frac{HC}{HB}=\frac{CE}{BP} \Rightarrow AF = CE \Rightarrow ACEF\) là hình bình hành

\(\Rightarrow EF=AC =a\sqrt{2}\)

Như vậy tam giác \( PEF \) cân tại \( P \) và có :

\(\left\{\begin{matrix} PE=PF =\frac{a\sqrt{10}}{3}\\ EF= AC =a\sqrt{2} \end{matrix}\right.\)

Vậy \(S_{PEF}= \frac{EF.2\sqrt{PF^2-(\frac{EF}{2})^2}}{2}=a\sqrt{2}.\sqrt{\frac{10a^2}{9}-\frac{a^2}{2}}= \frac{a^2\sqrt{11}}{3} \;\;\;\; (1) \)

Do \(\Delta AMF = \Delta CNE\) (c.g.c) nên

\(\Rightarrow MF=EN\)

Mặt khác \(\Rightarrow MN ||EF\) ( do cùng song song với \( AC \) )

\(\Rightarrow MNEF\) là hình thang cân có \(\left\{\begin{matrix} MN =\frac{a}{2}\\ EF= a\sqrt{2} \end{matrix}\right.\)

Kẻ \( MI \bot EF \), ta có :

\(FI=\frac{EF-MN}{2}=\frac{2\sqrt{2}-1}{4}a\)

\(\frac{AF}{BP}=\frac{KA}{KB} \Rightarrow AF = \frac{KA.BP}{KB} = \frac{a}{3}\)

\(\Rightarrow FM =\sqrt{AF^2+AM^2}=\frac{a\sqrt{13}}{6}\)

Như vậy \(\Rightarrow MI = \sqrt{FM^2-FI^2}=\frac{a\sqrt{36\sqrt{2}-29}}{12}\)

\(\Rightarrow S{MNEF}=\frac{(MN+EF).MI}{2}=\frac{(2\sqrt{2}+1)\sqrt{36\sqrt{2}-29}}{24}a^2 \;\;\;\; (2)\)

Từ \((1)(2) \Rightarrow S{MNEPF}=S_{PEF}+S_{MNEF}=\frac{8\sqrt{11}+(2\sqrt{2}+1)\sqrt{36\sqrt{2}-29}}{24}a^2\) đon vị diện tích

Một số dạng bài tập về diện tích thiết diện

Sau đây là một số bài tập tìm thiết diện và diện tích thiết diện có đáp số để các bạn có thể tự luyện tập.

Bài 1:

Cho hình chóp tứ giác đều \( S.ABCD \) có độ dài cạnh đáy bằng \( a \). Gọi \( M,N,P \) lần lượt là trung điểm của \( SA,SB,SC \). Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \( (MNP) \) và tính diện tích thiết diện đó ?

Đáp số : Thiết diện là \( MNPQ \) với \( Q \) là trung điểm \( SD \) và \(S_{MNPQ}=\frac{a^2}{4}\)

Bài 2 :

Cho tứ diện \( ABCD \) có \( AB \bot CD \) và \( AB=a; CD =b \). Gọi \( I,J \) lần lượt là trung điểm \( AB, CD \). Trên \( IJ \) lấy điểm \( M \) sao cho \(IM = \frac{IJ}{3}\). Mặt phẳng \( (\alpha) \) đi qua \( M \) và song song với \( AB,CD \) cắt tứ diện tạo thành một thiết diện. Tính diện tích thiết diện đó ?

Đáp số : \(S= \frac{2ab}{9}\)

Bài 3:

Cho hình trụ tròn xoay có trục là \( OO’ \). Thiết diện qua trục \( OO’ \) là một hình vuông cạnh bằng \( 2a \). Gọi \( M \) là trung điểm \( OO’ \). Mặt phẳng \( (P) \) đi qua \( M \) tạo với đáy một góc bằng \(30 ^{\circ}\) cắt khối trụ theo một thiết diện hình Elip. Tính diện tích thiết diện Elip đó ?

Đáp số : \(S= \frac{2\pi}{\sqrt{3}}a^2\)

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết thiết diện là gì, cách tìm thiết diện cũng như công thức tính diện tích thiết diện. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề thiết diện là gì. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng của thầy Nguyễn Quốc Chí:


(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm:

Please follow and like us:
 

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *