Diện tích tam giác trong không gian Oxyz
Công thức tính diện tích tam giác \(ΔABC\) trong hệ tọa độ \(Oxyz\) là:
\(S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left | \left [ \vec{AB};\vec{AC} \right ] \right |\)
Bài tập tính diện tích tam giác trong không gian Oxyz
Ví dụ 1: Trong không gian \(Oxyz \)cho \(3 \) điểm \(A(1;2;1), B(2;-1;3), C(5;2;-3)\). Tính diện tích của tam giác \(ABC\).
Cách giải
Ta có \(\vec{AB}=(1;-3;3)\) và \(\vec{AC}=(4;0;-4)\)
\(\left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ] = \left ( \begin{vmatrix} -3 &3 \\ 0 & 4 \end{vmatrix};-\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & -4 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 1 &-3 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} \right )=(-12;16;-12)\)
\(=>\) Diện tích tam giác \(ABC \) là:
\(S= \frac{1}{2}.\left |\left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ] \right |=\frac{1}{2} .\sqrt{(-12)^{2}+16^{2}+(-12)^{2}} =\sqrt{34}\)
Ví dụ 2: Cho ba điểm \(A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).\)
a, Chứng minh rằng \(A, B, C\) là một đỉnh của tam giác
b, Tính diện tích tam giác\( ABC\)
Cách giải
a, Ta có \(\vec{AB}=(-1;0;1)\); \(\vec{AC}=(1;1;1)\)
Suy ra: \(\left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ]=\left ( \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1&1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 1 &-1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} -1 &0 \\ 1& 1 \end{vmatrix} \right )= (-1;2;-1)\neq \vec{0}\)
Vậy 2 véc tơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\) không cùng phương.
Vậy \(A,B,C\) là \(3\) đỉnh của một tam giác
b, Diện tích của tam giác \(ABC\) là:
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}\left | \left [ \vec{AB};\vec{AC} \right ] \right |=\frac{1}{2}.\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+(-1)^{2}} =\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Ví dụ 3: Chọn đáp án đúng: trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho ba điểm \(A(-2;2;1), B(1;0;2), C(-1;2;3)\). Diện tích tam giác \(ABC\) là?
- \(S_{ABC}= \frac{3\sqrt{5}}{2}\)
- \(S_{ABC}= 3\sqrt{5}\)
- \(S_{ABC}= 4\sqrt{5}\)
- \(S_{ABC}= \frac{5}{2}\)
Cách giải
Ta có: \(\vec{AB}=(3;-2;1)\), \(\vec{AC}=(1;0;2)\)
\(\left [ \vec{AB};\vec{AC} \right ] =(-4;-5;2)\)
Diện tích tam giác \(ABC\) là:
\(S_{ABC}= \frac{1}{2}.\left | \left [ \vec{AB};\vec{AC} \right ] \right |= \frac{3\sqrt{5}}{2}\)
Vậy đáp án đúng là A.
Trên đây là tổng hợp kiến thức tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz. Nếu có băn khoăn, thắc mắc về chủ đề tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz, các bạn để lại bình luận bên dưới chúng mình cùng giải đáp nha. Thấy hay thì chia sẻ nhé <3