Trung điểm là gì?
Trung điểm 𝑀 của đoạn thẳng 𝐴𝐵 là điểm nằm giữa 𝐴,𝐵 và cách đều 𝐴,𝐵 hay 𝑀𝐴=𝑀𝐵. Trung điểm của đoạn thẳng 𝐴𝐵 còn được gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng 𝐴𝐵
***Chú ý: Điểm 𝑀 nằm giữa hai điểm 𝐴,𝐵 ⇔ 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 = 𝐴𝐵
Những cách chứng minh trung điểm phổ biến và điển hình
Để chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng thì chúng ta cần sử dụng các tính chất hình học có liên quan đến trung điểm. Dưới đây là một số cách CM trung điểm cơ bản.
Cách chứng minh trung điểm lớp 6 – chứng minh theo định nghĩa
Để chứng minh điểm 𝑀 là trung điểm của đoạn thẳng 𝐴𝐵 thì ta cần chứng minh đồng thời 𝑀 nằm giữa 𝐴,𝐵 và 𝑀𝐴+𝑀𝐵
Ví dụ:
Cho đoạn thẳng 𝐴𝐵 = 8𝑐𝑚 có 𝑀 là trung điểm 𝐴𝐵. Trên 𝐴𝐵 lấy hai điểm 𝐶,𝐷 sao cho 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = 3𝑐𝑚. Chứng minh 𝑀 là trung điểm 𝐶𝐷
Cách giải:
Vì 𝑀 là trung điểm 𝐴𝐵 nên 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 = 4𝑐𝑚
Vì 𝑀,𝐶 cùng phía với 𝐴 mà 𝐴𝑀>𝐴𝐶 nên 𝐶 nằm giữa 𝐴𝑀
\(\Rightarrow MC =MA-CA = 1cm\)
Tương tự ta có 𝑀𝐷=1𝑐𝑚
Mặt khác: \(CD= AB-AC-BD =2cm\)
Như vậy ta có:
\(\left\{\begin{matrix} MC =MD =1cm\\ MC + MD =CD \end{matrix}\right.\)
⇒𝑀 là trung điểm 𝐶𝐷
Cách chứng minh trung điểm lớp 7 – dựa vào các tính chất của tam giác
Để chứng minh theo cách này thì trước hết chúng ta cần nắm vững các tính chất liên quan đến trung điểm trong tam giác.
Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với 𝑀,𝑁,𝑃 lần lượt là trung điểm của 𝐵𝐶,𝐶𝐴,𝐴𝐵
Khi đó:
𝐴𝑀,𝐵𝑁,𝐶𝑃 lần lượt được gọi là các đường trung tuyến của cạnh 𝐵𝐶,𝐶𝐴,𝐴𝐵 . 3 đường trung tuyến đồng quy tại điểm 𝐺 được gọi là trọng tâm của tam giác 𝐴𝐵𝐶 . 3 đoạn thẳng 𝑀𝑁,𝑁𝑃,𝑃𝑀 được gọi là các đường trung bình của tam giác 𝐴𝐵𝐶
- Tính chất trọng tâm: Nếu 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶 thì 𝐴𝐺,𝐵𝐺,𝐶𝐺 lần lượt đi qua trung điểm của 𝐵𝐶,𝐶𝐴,𝐴𝐵 . Đồng thời : \(\frac{AG}{AM}=\frac{BG}{BN}=\frac{CG}{CP}=\frac{2}{3}\)
- Tính chất đường trung bình: Nếu 𝑀𝑁 là đường trung bình của tam giác 𝐴𝐵𝐶 thì 𝑀𝑁 song song và bằng \(\frac{1}{2}\) cạnh đáy tương ứng.
Ví dụ:
Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 có \(AB >BC\) . 𝐵𝐸 là phân giác và 𝐵𝐷 là trung tuyến. Đường thẳng qua 𝐶 vuông góc với 𝐵𝐸 cắt 𝐵𝐸,𝐵𝐷,𝐵𝐴 lần lượt tại 𝐹,𝐺,𝐾 𝐷𝐹 cắt 𝐵𝐶 tại 𝑀. Chứng minh rằng: 𝑀 là trung điểm đoạn 𝐵𝐶
Cách giải:
Xét \(\Delta BCK\) có
𝐵𝐹 vừa là đường cao, vừa là phân giác nên \(\Delta BCK\) cân tại 𝐵
\(\Rightarrow BC=BK\) và 𝐵𝐹 là trung tuyến
\(\Rightarrow CF=FK\)
Xét Δ𝐶𝐾𝐴 có
\(CF=FK ;CD=DA\) \(\Rightarrow FD\) là đường trung bình
\(\Rightarrow FD//AB\Leftrightarrow MD//AB\)
Mà \(CD=DA\) nên \(\Rightarrow \frac{CM}{CB}=\frac{CD}{CA}=\frac{1}{2}\)
⇒𝑀 là trung điểm 𝐵𝐶.
Cách chứng minh trung điểm lớp 8 – dựa vào tính chất tứ giác đặc biệt
Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất trung điểm của các tứ giác đặc biệt như sau
- Đường trung bình hình thang
Cho hình thang 𝐴𝐵𝐶𝐷 hai đáy là 𝐴𝐵,𝐶𝐷. Khi đó 𝑀𝑁 được gọi là đường trung bình của hình thang 𝐴𝐵𝐶𝐷
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} MN \parallel AB \\ MN =\frac{AB+CD}{2} \end{matrix}\right.\) và 𝑀,𝑁 là trung điểm của 𝐴𝐵,𝐵𝐶
- Đường chéo hình bình hành
Cho hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷 với hai đường chéo 𝐴𝐶,𝐵𝐷 . Khi đó 𝐴𝐶 cắt 𝐵𝐷 tại trung điểm của mỗi đoạn.
***Chú ý: Hình vuông, hình chữ nhật , hình thoi là các trường hợp đặc biệt của hình bình hành nên cũng có tính chất nêu trên
Cách chứng minh trung điểm lớp 9 – dựa vào các tính chất của đường tròn
Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng quan hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn:
Cho đường tròn tâm 𝑂 đường kính 𝐴𝐵. 𝑀𝑁 là một dây cung bất kì của đường tròn. Khi đó, nếu 𝐴𝐵⊥𝑀𝑁⇒ 𝐴𝐵 đi qua trung điểm của 𝑀𝑁 và ngược lại , nếu 𝐴𝐵 đi qua trung điểm của 𝑀𝑁 thì 𝐴𝐵⊥𝑀𝑁
Ví dụ:
Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 nhọn (𝐴𝐵<𝐴𝐶) nội tiếp đường tròn (𝑂) . Tiếp tuyến tại 𝐴 và 𝐵 của (𝑂) cắt nhau tại 𝑀. Kẻ cát tuyến 𝑀𝑃𝑄 của (𝑂) ( 𝑃 nằm giữa 𝑀 và 𝑄) song song với 𝐵𝐶 cắt 𝐴𝐶 tại 𝐸 . Chứng minh rằng 𝐸 là trung điểm 𝑃𝑄
Cách giải:
Vì 𝑀𝐴,𝑀𝐵 là các tiếp tuyến kẻ từ 𝑀 của đường tròn (𝑂) nên ⇒𝑀𝐴=𝑀𝐵
Xét Δ𝑀𝐴𝑂 và Δ𝑀𝐵𝑂 có
𝑀𝐴=𝑀𝐵 ( chứng minh trên )
𝑀𝑂 chung
𝑂𝐴=𝑂𝐵 ( bán kính (𝑂) )
Vậy ⇒Δ𝑀𝐴𝑂=Δ𝑀𝐵𝑂 ( cạnh – cạnh – cạnh )
\(\Rightarrow \widehat{MOA}=\widehat{MOB}\)
\(\Rightarrow \widehat{MOA}=\frac{\widehat{AOB}}{2} \hspace {1cm} (1)\)
Vì \(PQ \parallel BC \Rightarrow \widehat{MEA}=\widehat{BCA}\) ( đồng vị )
Mà \(\widehat{BCA}=\frac{\widehat{AOB}}{2}\Rightarrow \widehat{MEA}=\frac{\widehat{AOB}}{2} \hspace{1cm} (2)\)
Từ \((1)(2)\Rightarrow \widehat{MEA}=\widehat{MOA}\)
⇒ tứ giác 𝑀𝑂𝐸𝐴 nội tiếp
\(\Rightarrow \widehat{MEO}=\widehat{MAO}=90^{\circ}\) ( do 𝑀𝐴 là tiếp tuyến )
⇒𝐸𝑂 vuông góc với dây cung 𝑃𝑄
⇒𝐸 là trung điểm 𝑃𝑄
Cách chứng minh trung điểm dựa vào tính chất đối xứng
Đối xứng trục
Hai điểm 𝐴,𝐵 đối xứng với nhau qua đường thẳng 𝑑 nếu 𝑑 là đường trung trực của 𝐴𝐵 . Khi đó 𝐴𝐵⊥𝑑 và 𝑑 đi qua trung điểm của 𝐴𝐵
Đối xứng tâm
Hai điểm 𝐴,𝐵 đối xứng với nhau qua điểm 𝑂 nếu như 𝑂 là trung điểm của 𝐴𝐵
Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về chuyên đề CM trung điểm cũng như cách chứng minh trung điểm phù hợp với từng đối tượng. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề chứng minh trung điểm. Chúc bạn luôn học tốt!