Lý thuyết hai tam giác cùng đồng dạng
Định nghĩa hai tam giác đồng dạng
Hai tam giác đồng dạng là gì? “Đồng dạng” là từ Hán Việt và vốn có nghĩa là giống nhau. Hai tam giác đồng dạng với nhau khi chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.
Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ được gọi là đồng dạng với nhau nếu: \(\hat{A}=\hat{A’}; \hat{B}=\hat{B’};\hat{C}=\hat{C’}\)
và \(\frac{A’B’}{AB}=\frac{B’C’}{BC}=\frac{A’C’}{AC}\)
Kí hiệu hai tam giác đồng dạng: \(\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup A’B’C’\)
Tỉ số: \(\frac{A’B’}{AB}=\frac{B’C’}{BC}=\frac{A’C’}{AC}=k\) được gọi là tỉ số đồng dạng.
Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường
- Trường hợp 1: Ba cạnh tương ứng tỉ lệ nhau (c – c – c).
Xét hai tam giác ABC và DEF có:
\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}\)
Suy ra: \(\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF\) (c – c – c)
- Trường hợp 2: Hai cạnh tương ứng tỉ lệ nhau – góc xen giữa hai cạnh bằng nhau (c – g – c).
Xét hai tam giác ABC và DEF, ta có:
\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\)
\(\hat{A}=\hat{D}\)
Suy ra: \(△ABC∼△DEF\) (c – g – c)
- Trường hợp 3: Hai góc tương ứng bằng nhau (g – g)
Xét hai tam giác ABC và DEF có:
\(\hat{A}=\hat{D}\)
\(\hat{B}=\hat{E}\)
Suy ra: \(△ABC∼△DEF\) (g – g)
Các định lý đồng dạng của tam giác vuông
- Định lý 1: Cạnh huyền – Cạnh góc vuông
Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Định lý 2: Hai cạnh góc vuông
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Định lý 3: Góc của hai tam giác vuông
Nếu góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng
Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức
Bài toán: Cho \(△ABC(AB<AC)\), AD là đường phân giác trong. Miền ngoài \(△\) vẽ tia \(Cx\) sao cho \(\widehat{BCx}=\widehat{BAD}\). Gọi I là giao điểm của \( Cx\) và AD. Chứng minh rằng:
- a) \(△ADB∼△CDI\)
- b) \(\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AI}\)
- c) AD2 = AB.AC – BD.DC
Cách giải:
a) Xét \(△ADB\) và \(△CDI\) , ta có:
\(\widehat{BCx}=\widehat{BAD}\)(gt)
\(\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}\) (đối đỉnh)
Suy ra: \(△ADB∼△CDI\)
b) Xét △ABD và △AIC , ta có :
\(\widehat{B}=\widehat{I}\)(△ADB∼△CDI)
\(\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}\)(AD là phân giác)
Suy ra △ABD∼△AIC
Suy ra A\(\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AI}\), suy ra AD.AI = AB.AC (1)
c) Có \(\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{BI}\) △ADB∼△CDI
Suy ra: AD.DI = BD.CD (2)
từ (1) và (2) :
Suy ra: AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD2
Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet và Hai đường thẳng song song
Bài toán:
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE. Kẻ các đường cao DF và EG của tam giác ADE. Chứng minh:
- a) △ADB∼△AEG
- b) AD.AE = AB.AG = AC.AF
- c) FG // BC
Cách giải:
a) Xét tam giác ABD và AEG, ta có :
BD AC (BD là đường cao)
EG AC (EG là đường cao)
Suy ra: BD // EG
Suy ra: △ADB∼△AEG
b) Từ a) Suy ra \(\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AG}\)
⇒ AD.AE = AB.AG (1)
CM tương tự, ta được : AD.AE = AC.AF (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
AD.AE = AB.AG = AC.AF
c) Xét tam giác ABC, ta có :
AB.AG = AC.AF (cmb) suy ra: \(\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AG}\)
Suy ra: FG // BC (định lí Talet đảo)
Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau
Bài toán: Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:
- a) Tam giác HBE và tam giác HCE đồng dạng.
- b) \(△HED∼△HBC\)
và \(\widehat{HDE}=\widehat{HAE}\)
Cách giải:
a) Xét tam giác HBE và tam giác HCD, ta có :
\(\widehat{BEH}=\widehat{CDH}=90^{\circ}\) (gt)
\(\widehat{H_{1}}=\widehat{H_{2}}\) (đối đỉnh)
Suy ra: \(△HBE∼△HCD\) (g – g)
b) Xét tam giác HED và HBC, ta có :
\(\frac{HE}{HD}=\frac{HD}{HC}\) \((△HBE∼△HCD)\)
Suy ra: \(\frac{HE}{HD}=\frac{HD}{HC}\)
\(\widehat{EHD}=\widehat{CHB}\)(đối đỉnh)
Suy ra \(△HED∼△HBC\)(c – g – c)
Suy ra: \(\widehat{D_{1}}=\widehat{C_{1}}\)(1)
mà còn có: đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)
Do đó H là trực tâm, suy ra \(AH⊥BC\) tại M.
Suy ra \(\widehat{A_{1}}+\widehat{ABC}=90^{\circ}\)
Mặt khác : \(\widehat{C_{1}}+\widehat{ABC}=90^{\circ}\)
Suy ra: \(\widehat{A_{1}}=\widehat{C_{1}}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{A_{1}}=\widehat{D_{1}}\)
hay: \(\widehat{HDE}=\widehat{HAE}\)
Trên đây là tổng hợp những kiến thức về chủ đề hai tam giác đồng dạng. Hy vọng đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích phục vụ cho quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem thêm >>> Tính chất tam giác cân: Lý thuyết và Các dạng bài tập