cách nhận dạng đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương

Nhận dạng đồ thị hàm số là dạng toán mới nhưng rất hay gặp trong các bài toán thi THPT Quốc gia. Vậy cần lưu ý gì về cách nhận dạng đồ thị hàm số? Có những loại hàm số nào? Cách nhận dạng đồ thị hàm số mũ và logarit? Bài tập trắc nghiệm nhận dạng đồ thị hàm số? Phân biệt các dạng đồ thị hàm số? …  Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề “cách nhận dạng đồ thị hàm số”, cùng tìm hiểu nhé!. 

Cách nhận dạng đồ thị hàm số đa thức

Hàm số đa thức là hàm số có dạng \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0\) với \(a_n;a_{n-1};…a_1;a_0 \in \mathbb{R}\)

Một số tính chất của hàm số đa thức như sau: 

  • Hàm số đa thức bậc \( n \) sẽ có tối đa \( n \) nghiệm phân biệt
  • Hàm số luôn đi qua điểm \( M(0;a_0) \)
  • Nếu \( a_n >0 \) thì \(\lim_{x\rightarrow + \infty} =+ \infty\)
  • Nếu \( a_n <0 \) thì \(\lim_{x\rightarrow + \infty} = – \infty\)

Như vậy tùy vào bậc của hàm số mà ta có các tính chất riêng trong cách nhận dạng đồ thị của hàm số. 

Cách nhận biết đồ thị hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng \( y=ax+b \) với \( a \neq 0 \)

Đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( b \) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là \(\frac{-b}{a}\)

Từ kiến thức về cách nhận dạng đồ thị hàm số thì để nhận biết hàm số đã cho, ta chia mặt phẳng \( Oxy \) ra làm bốn góc phần tư.

lý thuyết cách nhận dạng đồ thị hàm số

  • Nếu đồ thị là đường thẳng cắt ngang qua hai đoạn của góc phần tư \( 1 \) hoặc \( 3 \) thì hàm số có \( a<0 \)
  • Nếu đồ thị là đường thẳng cắt ngang qua hai đoạn của góc phần tư \( 2 \) hoặc \( 4 \) thì hàm số có \( a>0 \)

Ví dụ:

Cho đồ thị như hình vẽ. Hãy cho biết đây là đồ thị của hàm số nào.

kiến thức cách nhận dạng đồ thị hàm số

Cách giải:

Vì đồ thị là một đường thẳng nên \(\Rightarrow\) đây là đồ thị hàm số bậc nhất.

Giả sử hàm số là \( y=ax+b \)

Do hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1 \Rightarrow b=1\)

Hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(3 \Rightarrow \frac{-b}{a}=3\Rightarrow a=\frac{-1}{3}\)

Vậy hàm số là \(y=-\frac{x}{3}+1\)

Cách nhận biết đồ thị hàm số bậc 2

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng \( y=ax^2+bx+c \) với \( a \neq 0 \)

Đồ thị hàm số bậc hai là một Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( c \) (đỉnh của Parabol), nhận đường thằng \(x=\frac{-b}{2a}\) làm trục đối xứng. Cách nhận dạng đồ thị hàm số bậc 2 cụ thể như sau: 

  • Parabol có đỉnh ở phía trên khi \( a<0 \)

tìm hiểu về cách nhận dạng đồ thị hàm số

  • Và Parabol có đỉnh ở phía dưới khi \( a>0 \)

bài tập cách nhận dạng đồ thị hàm số

Ví dụ:

Cho hàm số bậc hai có đồ thị như hình vẽ. Hãy xác định hàm số đó.

cách nhận biết đồ thị hàm số qua ví dụ

Cách giải:

Giả sử hàm số là \( y=ax^2+bx+c \)

Hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1 \Rightarrow c=1\)

Hàm số nhận đường thẳng \(x=-2\) làm trục đối xứng \(\Rightarrow \frac{-b}{2a}=-2\Leftrightarrow b=4a\)

Do hàm số đi qua điểm \( (-1;-2) \) nên ta có:

\(-2=a-b+1\Rightarrow -2=a-4a+1\)

\(\Rightarrow 3a=3\Rightarrow a=1;b=4\)

Vậy hàm số laf \( y=x^2+4x+1 \)

Cách nhận biết đồ thị hàm số bậc 3

Hàm số bậc \( 3 \) là hàm số có dạng:

\(y= ax^3+bx^2+cx+d \)  với \( a \neq 0 \)

Hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( d \)

Hàm số cắt trục hoành tại \( 1 \) điểm hoặc \( 3 \) điểm

Cách nhận dạng đồ thị hàm số bậc 3 thì chúng ta nhận biết dạng của đồ thị qua số tiệm cận của hàm số bằng cách xét đạo hàm \( y’= 3ax^2+2bx+c \)

  • Trường hợp 1: Phương trình \( y’=0 \) có hai nghiệm phân biệt

Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và có hình dạng như sau.

cách nhận biết đồ thị hàm số nhanh nhất

  • Trường hợp 2: Phương trình \( y’=0 \) có một nghiệm kép

Khi đó đồ thị hàm số không có điểm cực trị và tiếp tuyến tại điểm uốn song song với trục hoành.

cách nhận dạng đồ thị hàm số có nghiệm kép

  • Trường hợp 3: Phương trình \( y’=0 \) vô nghiệm

Khi đó đồ thị hàm số không có điểm cực trị nhưng tiếp tuyến tại điểm uốn không song song với trục hoành.

cách nhận dạng đồ thị hàm số bậc ba vô nghiệm

Ví dụ:

Cho hàm số bậc ba \( y=ax^3+bx^2+cx+d \) có đồ thị như hình vẽ.

Hãy xét dấu của \( a;b;c;d \)

ví dụ điển hình cách nhận dạng đồ thị hàm số

Cách giải:

Do đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ \( >0 \) nên \(\Rightarrow d >0\)

Do \(\lim_{x\rightarrow +\infty} y =-\infty \Rightarrow a<0\)

Nhìn vào đồ thị dễ thấy : Hàm số có hai điểm cực trị \( x_1;x_2 \) thỏa mãn

\(\left\{\begin{matrix} -1 <x_1 <0\\ x_2=2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2 >0\\ x_1x_2 <0 \end{matrix}\right.\)

Xét đạo hàm \( y’= 3ax^2+2bx+c \)

Do \( x_1 ; x_2 \) là hai nghiệm của phương trình \( y’=0 \) nên theo định lý Viet ta có :

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2 = \frac{-2b}{6a}>0\\ x_1x_2 =\frac{c}{3a} <0 \end{matrix}\right.\)

Do \( a<0 \) nên:

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b>0\\ c>0 \end{matrix}\right.\)

Vậy \( a<0 \) và \( b;c;d >0 \)

Cách nhận diện đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương

Hàm số bậc \( 4 \) trùng phương là hàm số có dạng :

\( y= ax^4 + bx^2 +c \) với \( a \neq 0 \)

Hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( c \)

Hàm số luôn nhận trục tung làm trục đối xứng

Cách nhận dạng đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương thì chúng ta nhận biết dạng của đồ thị qua số tiệm cận của hàm số bằng cách xét đạo hàm \( y’= 4ax^3+2bx \)

  • Trường hợp 1: Phương trình \( y’=0 \) có \( 3 \) nghiệm phân biệt.

Khi đó đồ thị hàm số có \( 3 \) điểm cực trị.

cách nhận dạng đồ thị hàm số bậc ba có nghiệm phân biệt

  • Trường hợp 2 : Phương trình \( y’=0 \) có duy nhất \( 1 \) nghiệm

Khi đó đồ thị hàm số có \( 1 \) điểm cực trị và có hình dáng giống với đồ thị Parabol.

cách nhận dạng đồ thị hàm số bậc 3 chỉ có duy nhất một nghiệm

Để phân biệt trường hợp này với đồ thị Parabol ta cần lưu ý chú ý sau :

Hàm số trùng phương luôn nhận trục tung làm trục đối xứng. Do đó nếu đồ thị có dạng Parabol có trục đối xứng khác trục tung thì đó là hàm số bậc 2

Ví dụ:

Cho đồ thị hàm số bậc \( 4 \) như hình vẽ. Xác định hàm số.

cách nhận dạng đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương

Cách giải:

Dễ thấy hàm số đối xứng qua trục tung nên đây là hàm số bậc \( 4 \) trùng phương \( y=ax^4+bx^2+c \)

Do hàm số cắt trục tung tại gốc tọa độ nên \(\Rightarrow c=0\)

Do hàm số đi qua hai điểm \((1;-1);(\sqrt{2};0)\) nên thay vào ta được :

\(\left\{\begin{matrix} a+b=-1\\ 4a+2b=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-2 \end{matrix}\right.\)

Vậy hàm số là \( y=x^4-2x^2 \)

Nhận dạng một số đồ thị hàm số đặc biệt

Cách nhận dạng đồ thị hàm số phân thức

  • Hàm số phân thức là hàm số có dạng \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\)
  • Cách nhận dạng đồ thị hàm số phân thức: Đồ thị hàm số phân thức gồm hai đường cong nằm ở hai góc phần tư đối xứng nhau trên trục tọa độ
  • Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \((0;\frac{b}{d})\), cắt trục hoành tại điểm \((-\frac{b}{a};0)\)
  • Hàm số có hai đường tiệm cận:
    • Tiệm cận ngang \(y=\frac{a}{c}\)
    • Tiệm cận đứng \(x=-\frac{d}{c}\)
  • Tùy thuộc vào giá trị đạo hàm \(y’=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}\) mà đồ thị có hai dạng khác nhau.

cách nhận dạng đồ thị hàm số phân thức

Vậy ta có một số chú ý sau để xét nhanh các giá trị của tham số:

  • Hàm số giao với trục \( Ox \) tại điểm nằm phía bên phải gốc tọa độ \(\Rightarrow ab <0\)
  • Hàm số giao với trục \( Ox \) tại điểm nằm phía bên trái gốc tọa độ \(\Rightarrow ab >0\)
  • Hàm số không cắt trục \( Ox \Rightarrow a=0\)
  • Tiệm cận ngang nằm phía trên trục \(Ox \Rightarrow ac >0\)
  • Tiệm cận ngang nằm phía dưới trục \(Ox \Rightarrow ac <0\)
  • Tiệm cận ngang trùng trục \(Ox \Rightarrow a=0\)
  • Hàm số giao với trục \( Oy \) tại điểm nằm phía bên trên gốc tọa độ \(\Rightarrow bd >0 \)
  • Hàm số giao với trục \( Oy \) tại điểm nằm phía bên dưới gốc tọa độ \(\Rightarrow bd <0 \)
  • Hàm số giao \( Oy \) tại điểm trùng gốc tọa độ \(\Rightarrow b=0 \)
  • Tiệm cận đứng nằm bên phải trục \(Oy \Rightarrow cd <0\)
  • Tiệm cận đứng nằm bên trái trục \(Oy \Rightarrow cd >0\)
  • Tiệm cận đứng trùng với trục \(Oy \Rightarrow d=0\)

Ví dụ:

Cho hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) có đồ thị như hình vẽ

Nhận xét dấu của \( ad \) và \( bc \)

cách nhận dạng đồ thị hàm số trùng phương đơn giản

Cách giải:

Dễ thấy đồ thị là nghịch biến và có hai đường tiệm cận dương nên ta có :

\(\left\{\begin{matrix} ad-bc<0 \\ \frac{a}{c} >0 \\ -\frac{d}{c} >0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ac>0\\ dc <0 \\ ad-bc <0 \end{matrix}\right.\)

Do \( ac>0; dc <0 \) nên \(\Rightarrow ad <0 \)

Hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ \(<0 \Rightarrow \frac{b}{d}<0 \Rightarrow bd <0\)

Mà \(cd < 0 \Rightarrow bd.cd=bcd^2 >0 \Rightarrow bc >0\)

Vậy \( ad <0 ; bc > 0 \)

Cách nhận dạng đồ thị hàm số mũ và logarit

  • Hàm số mũ là hàm số có dạng \( y=a^x \) với \( a >0; a \neq 1 \)
  • Cách nhận dạng đồ thị hàm số mũ: Đồ thị hàm số mũ là một đường cong luôn nằm phía trên trục hoành.
  • Đồ thị hàm số mũ cắt trục tung tại điểm \( (0;1) \), luôn đi qua điểm \( (1;a) \) , luôn nằm phía trên trục hoành và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
  • Tùy theo giá trị của \( a \) mà có hai dạng đồ thị khác nhau:

cách nhận dạng đồ thị hàm số mũ và logarit

  • Hàm số Logarit là hàm số có dạng \(y= \log_a x\) với \( a >0; a \neq 1 \)
  • Cách nhận dạng đồ thị hàm số logarit: Đồ thị hàm số Logarit là một đường cong nằm phía bên phải trục tung.
  • Đồ thị hàm số logarit cắt trục hoành tại điểm \( (1;0) \) , luôn đi qua điểm \( (a;1) \) , luôn nằm phía bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng
  • Tùy theo giá trị của \( a \) mà có hai dạng đồ thị khác nhau:

những lưu ý cách nhận dạng đồ thị hàm số

Ví dụ 1:

Tìm giá trị của \( a \) để hàm số \( y= \log_a x \) có đồ thị là hình dưới đây.

cách nhận dạng đồ thị hàm số logarit và hình ảnh

Cách giải:

Vì hàm số đi qua điểm \( (2;2 ) \) nên ta có :

\(\log_a 2 =2 \Rightarrow a^2=2 \Rightarrow a=2\)

Vậy hàm số là \(y=\log_{\sqrt{2}}2\)

Ví dụ 2:

Đồ thị dưới đây là của hàm số nào?

cách nhận dạng đồ thị hàm số đơn giản nhất

Cách giải:

Ta thấy đồ thị là một đường cong nằm phía trên trục hoành \(\Rightarrow\) đây là đồ thị hàm số mũ \( y=a^x \)

Vì đồ thị đi qua điểm \( (-1;3) \) nên ta có :

\(a^{-1}=3\Leftrightarrow \frac{1}{a}=3\Leftrightarrow a=\frac{1}{3}\)

Vậy hàm số là \(y=(\frac{1}{3})^x\)

Cách nhận biết đồ thị hàm số lượng giác

Hàm số lượng giác là những hàm số đặc trưng bởi tính tuần hoàn. Có bốn hàm số lượng giác cơ bản, từ các tính chất của từng hàm số lượng giác thì ta sẽ có cách nhận dạng đồ thị hàm số lượng giác riêng. 

Hàm số \( y= \sin x \)

  • Hàm số có miền giá trị từ \( -1 \) đến \( 1 \)
  • Hàm số tuần hoàn với chu kì \( 2\pi \)
  • Hàm số là hàm số lẻ: \( \sin (-x) = – \sin x \)
  • Cách nhận dạng đồ thị hàm số \( y= \sin x \): Đồ thị hàm số có dạng sóng đi qua gốc tọa độ, nằm giữa hai đường thẳng \( y=-1 \) và \( y=1 \)

Hàm số \( y= \cos x \)

  • Hàm số có miền giá trị từ \( -1 \) đến \( 1 \)
  • Hàm số tuần hoàn với chu kì \( 2\pi \)
  • Hàm số là hàm số chẵn: \( \cos (-x) =  \cos x \)
  • Cách nhận dạng đồ thị hàm số \( y= \cos x \): Đồ thị hàm số có dạng sóng không đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm \( (0;1) \) , nằm giữa hai đường thẳng \( y=-1 \) và \( y=1 \)

cách nhận dạng đồ thị hàm số mũ thường gặp

Hàm số \( y= \tan x \)

  • Hàm số được xác định bởi công thức \(y=\frac{\sin x}{\cos x}\)
  • Hàm số tuần hoàn với chu kì \( \pi \)
  • Hàm số là hàm số lẻ : \( \tan (-x) =  -\tan x \)
  • Cách nhận dạng đồ thị hàm số \( y= \tan x \): Đồ thị hàm số có dạng những đường sóng không cắt nhau, đối xứng với nhau qua trục hoành. Mỗi đường sóng lần lượt đi qua và nhận các điểm có tọa độ \( (k\pi ;0) \) làm tâm đối xứng. Hàm số có xu hướng tiến xuống dưới khi \( x \) tăng dần
  • Hàm số nhận các đường thẳng \(x= \pm (k +\frac{1}{2}) \pi\) làm tiệm cận đứng.

cách nhận dạng đồ thị hàm số mũ tan x

Hàm số \( y= \cot x \)

  • Hàm số được xác định bởi công thức \(y=\frac{\cos x}{\sin x}\)
  • Hàm số tuần hoàn với chu kì \( \pi \)
  • Hàm số là hàm số lẻ: \( \cot (-x) =  -\cot x \)
  • Cách nhận dạng đồ thị hàm số \( y= \cot x \): Đồ thị hàm số có dạng những đường sóng không cắt nhau, đối xứng với nhau qua trục hoành. Mỗi đường sóng lần lượt đi qua và nhận các điểm có tọa độ \( ((k +\frac{1}{2})\pi ;0) \) làm tâm đối xứng. Hàm số có xu hướng tiến xuống dưới khi \( x \) tăng dần
  • Hàm số nhận các đường thẳng \(x= k \pi\) làm tiệm cận đứng.

cách nhận dạng đồ thị hàm số mũ cot x

Ví dụ:

Hãy cho biết hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

cách nhận dạng đồ thị hàm số mũ và luyện tập

Cách giải:

Từ đồ thị ta có một vài nhận xét:

Hàm số có tính tuần hoàn

Hàm số luôn nằm giữa hai đường thẳng \( y=0 \) và \( y=1 \)

Hàm số đi qua gốc tọa độ

Từ những nhận xét trên ta thấy đây là đặc điểm của hàm số \( y=\sin x \)

Tuy nhiên do hàm số luôn nằm phía trên trục hoành

\(\Rightarrow\) Hàm số đó là \( y= |\sin x | \)

Bài tập trắc nghiệm nhận dạng đồ thị hàm số

Sau đây là một số bài tập trắc nghiệm nhận dạng đồ thị hàm số để các bạn tự luyện tập.

Bài 1:

Hàm số \( y=ax^4+bx^2+c \) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hãy chọn nhận xét đúng:

các dạng bài toán cơ bản cách nhận dạng đồ thị hàm số

A. \( a<0; b>0 ; c<0 \)

B. \( a<0; b<0; c<0 \)

C. \( a>0; b<0; c<0 \)

D. \( a<0; b>0; c>0 \)

Đáp số : \( D \)

Bài 2:

Tìm giá trị của \( a;c;d \) để hàm số \(y= \frac{ax+2}{cx+d}\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

hình ảnh chuyên đề cách nhận dạng đồ thị hàm số

A. \( a=2;c=-1;d=2 \)

B. \( a=1;c=-1;d=1 \)

C. \( a=1;c=1;d=2 \)

D. \( a=1;c=-1;d=2 \)

Đáp số : \( D \)

Bài 3:

Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

luyện tập về cách nhận dạng đồ thị hàm số

A. \(y=\log_2x\)

B. \(y=|\log_2x|\)

C. \(y=\log_{\sqrt{2}}x\)

D. \(y=|\log_{\sqrt{2}}x|\)

Đáp số : \( D \)

Bài 4:

Cho các số thực dương \( a;b \neq 1 \). Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với \( Ox \) mà cắt đồ thị hai hàm số \( y=a^x \); \( y=b^2 \) và trục tung lần lượt tại \( M;N;A \) thì ta luôn có : \( AN=2AM \) . Hãy tìm mối quan hệ  \(a;b \)

cách nhận dạng đồ thị hàm số và những dạng thường thấy

A. \( b=2a \)

B. \( a^2=b \)

C. \(ab=\frac{1}{2}\)

D. \( ab^2=1 \)

Đáp số : \( D \)

Bài 5 :

Cho ba đồ thị hàm số \( y=a^x;y=b^x;y=c^x \) như hình vẽ với \( 0< a;b;c \neq 1 \). Hãy so sánh ba số \( a;b;c \)

cách nhận dạng đồ thị hàm số và bài tập tìm ba số

A. \( a<c<b \)

B. \( c<a<b \)

C. \( b<c <a \)

D. \( a<b <c \)

Đáp số : \( D \)

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết cũng như bài tập về chuyên đề cách nhận dạng đồ thị hàm số. Bên cạnh đó, các dạng toán nhận dạng đồ thị hàm số cũng được chúng tôi giới thiệu đầy đủ và chi tiết trong nội dung trên. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề cách nhận dạng đồ thị hàm số. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm:

Tu khoa lien quan:

  • từ đồ thị suy ra hàm số
  • nhận dạng đồ thị hàm số bậc 4
  • các dạng đồ thị hàm số bậc 4
  • các dạng đồ thị hàm số cơ bản
  • tổng hợp các dạng đồ thị hàm số
  • cách xác định đồ thị hàm số bậc 4
  • cách nhận biết đồ thị hàm số bậc 2
  • bài tập trắc nghiệm nhận dạng đồ thị hàm số
Please follow and like us:
 

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *