Định nghĩa hàm số lượng giác
Hàm lượng giác được biết đến là những hàm toán học của góc và được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất tuần hoàn.
Lý thuyết về hàm sin
Trước khi tìm hiểu về công thức Sin Cos, hãy cùng tham khảo về một số hàm cơ bản trong lượng giác.
Hàm số sin là gì?
Trong một tam giác vuông thì sin của một góc nhọn được định nghĩa là tỷ lệ giữa cạnh góc vuông đối diện chia cho cạnh huyền.
Đồ thị hình sin
Đồ thị hàm sin nằm trong khoảng \((−∞;+∞)\) và nhận giá trị từ \([−1;1]\) Ta có đồ thị hàm sin như sau:
Cách tính sin
Ví dụ:
- \(\sin\alpha=\frac{a}{c}\)
- \(\sin\beta=\frac{b}{c}\)
Lý thuyết về hàm cos
Hàm số cos là gì?
Trong một tam giác vuông thì cos của một góc nhọn được định nghĩa chính là tỷ lệ giữa cạnh kề của cạnh góc vuông chia cho cạnh huyền.
Đồ thị hình cos
Đồ thị hàm cos nằm trong khoảng \((−∞;+∞)\) và nhận giá trị từ \([−1;1]\).
Cách tính cos
Ví dụ:
- \(\cos\alpha=\frac{b}{c}\)
- \(\cos\beta=\frac{a}{c}\)
Lý thuyết về hàm tang
Hàm tang là gì?
Trong một tam giác vuông thì tang của một góc nhọn được định nghĩa chính là tỷ lệ giữa cạnh đối diện và cạnh kề của góc đó.
Đồ thị hình tang
Đồ thị hình tang có miền xác định trên \(\mathbb{R}/\left \{ \frac{\pi}{2}+k\pi \right \}\), trong đó k nguyên và có giá trị từ \((−∞;+∞)\)
Cách tính tang
Ví dụ:
- \(\tan\alpha=\frac{a}{b}\)
- \(\tan\beta=\frac{b}{a}\)
Lý thuyết về hàm cot
Hàm cot là gì?
Trong một tam giác vuông thì tang của một góc nhọn được định nghĩa chính là tỷ lệ giữa cạnh kề và cạnh đối diện của góc đó.
Đồ thị hình cot
Đồ thị hình cot có miền xác định trên \(\mathbb{R}/\left \{ k\pi \right \}\), trong đó k nguyên và có giá trị từ \((−∞;+∞)\)
Cách tính cot
Ví dụ:
- \(\cot\alpha=\frac{b}{a}\)
- \(\cot\beta=\frac{a}{b}\)
Các hàm số lượng giác thường gặp
Lý thuyết hàm số \(y=\sin x\)
Kiến thức hàm số \(y=\sin x\)
- Tập xác định: \(\mathbb{R}\) và \(−1≤sinx≤1,∀x∈R.\)
- Hàm số \(y=\sin x\) là hàm lẻ.
- Hàm số \(y=\sin x\) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(2π\).
Các giá trị đặc biệt của \(y=\sin x\)
- \(sinx=0\) khi \(x=kπ,k∈Z\).
- \(sinx=1\) khi \(x=\frac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\).
- \(sinx=−1\) khi \(x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\).
Đồ thị hàm số \(y=sinx\)
Lý thuyết hàm số \(y=cosx\)
Kiến thức hàm số \(y=cosx\)
- Tập xác định: \(\mathbb{R}\) và \(-1\le\cos x\le1,\forall x\in\mathbb{R}\).
- Hàm số \(y=cosx\) là hàm số chẵn.
- Hàm số \(y=cosx\) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(2π\).
Các giá trị đặc biệt của \(y=cosx\)
- \(cosx=0 \) khi \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\).
- \(cosx=1\) khi \(x=k2\pi,k\in\mathbb{Z}\).
- \(cosx=−1\) khi \(x=2\left ( k+1 \right )\pi,k\in\mathbb{Z}\).
Đồ thị hàm số \(y=cosx\)
Lý thuyết hàm số \(y=tanx\)
Kiến thức hàm số \(y=tanx\)
- Hàm số \(y=\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)
- Miền xác định: \(D=\mathbb{R}/\left \{ \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} \right \}\).
- Hàm số \(y=tanx\) là hàm số lẻ.
- Hàm số \(y=tanx\) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π
Các giá trị đặc biệt của hàm số \(y=tanx\)
- \(tanx=0\) khi \(x=k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
- \(tanx=1\) khi \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
- \(tanx=−1\) khi \(x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
Đồ thị hàm số y=tanx
Lý thuyết hàm số \(y=cotx\)
Kiến thức hàm số \(y=cotx\)
- Hàm số \(y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)
- Tập xác định: \(D=\mathbb{R}/\left \{ k\pi,k\in\mathbb{Z} \right \}\)
- Hàm số \(y=cotx\) là hàm số lẻ
- Hàm số \(y=cotx\) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(π\)
Các giá trị đặc biệt của hàm số \(y=cotx\)
- \(cotx=0\) khi \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\).
- \(cotx=1\) khi \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\).
- \(cotx=−1\) khi \(x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\).
Đồ thị hàm số \(y=cotx\)
Định nghĩa tỉ số lượng giác là gì?
Cho tam giác ABC vuông tại A, với các giá trị của góc α sẽ được định nghĩa như sau:
- \(\sin\alpha=\frac{AB}{BC}\)
- \(\cos\alpha=\frac{AC}{BC}\)
- \(\tan\alpha=\frac{AB}{AC}\)
- \(\cot\alpha=\frac{AC}{AB}\)
Các tính chất của tỉ số lượng giác
- Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tang góc này bằng cot góc kia. Tức là: Cho hai góc \(α,β\) có \(α+β=90^∘\). Khi đó: \( sinα=cosβ\);\(cosα=sinβ\); \(tanα=cotβ\);\(cotα=tanβ\).
- Nếu hai góc nhọn \(α\) và \(β\) có \(sinα=sinβ\) hoặc \(cosα=cosβ\) thì \(α=β\)
- Nếu \(α\) là một góc nhọn bất kỳ thì
\(0<sinα<1;0<cosα<1;tanα>0;cotα>0\)
Bảng giá trị lượng giác đặc biệt
Các cung liên quan đặc biệt sin cos tan cot
Hai cung đối nhau
- \(cos(−α)=cosα\)
- \(sin(−α)=−sinα\)
- \(tan(−α)=−tanα\)
- \(cot(−α)=−cotα\)
Hai cung bù nhau
- \(sin(π−α)=sinα\)
- \(cos(π−α)=−cosα\)
- \(tan(π−α)=−tanα\)
- \(cot(π−α)=−cotα\)
Hai cung phụ nhau
(α và \(\frac{\pi}{2}-\alpha\))
- \(\sin\left (\frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\cos\alpha\)
- \(\cos\left (\frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\sin\alpha\)
- \(\tan\left (\frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\cot\alpha\)
- \(\cot\left (\frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\tan\alpha\)
Hai cung hơn, kém
π: (α và \(π+α\))
- \(sin(π+α)=−sinα\)
- \(cos(π+α)=−cosα\)
- \(tan(π+α)=tanα\)
- \(cot(π+α)=cotα\)
Cung hơn kém \(\frac{\pi}{2}\)
- \(\cos\left ( \frac{\pi}{2}+x \right )=-\sin x\)
- \(\sin\left ( \frac{\pi}{2}+x \right )=\cos x\)
Thơ ghi nhớ cung đặc biệt
Cos đối; Sin bù; phụ chéo; khác \(π\) tang và cot.
Cosin của 2 góc thì bằng nhau
Sin của 2 góc bù nhau cũng bằng nhau
Phụ chéo là hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia
Tang góc này bằng cotang góc kia
Tang của hai góc hơn kém pi cũng bằng nhau.
Các công thức lượng giác cơ bản
- Sin= đối/ huyền.
- Cos= kề/ huyền.
- Tan= đối/ kề.
- Cot= kề/ huyền
- \(\sin^2x+\cos^2x=1\)
- \(1+\cot^2x=\frac{1}{\sin^2x},x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
- \(1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x},x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
- \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)
- \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)
- \(\tan x.\cot x=1,x\ne k\frac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\)
- \(\sin^3\alpha+\cos^3\alpha=\left ( \sin\alpha+\cos\alpha \right )\left ( 1-\sin\alpha\cos\alpha \right )\)
- \(\sin^3\alpha-\cos^3\alpha=\left ( \sin\alpha-\cos\alpha \right )\left ( 1+\sin\alpha\cos\alpha \right )\)
- \(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=1-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha\)
- \(\sin^4\alpha-\cos^4\alpha=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos2a\)
- \(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha=1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha\)
- \(\sin^6\alpha-\cos^6\alpha=-\cos2\alpha\left ( 1-\sin^2\alpha\cos^2\alpha \right )\)
Cách ghi nhớ: Sin đi học, Cos không hư, tan đoàn kết, cotan kết đoàn
Công thức cộng lượng giác
- \(\sin\left ( a\pm b \right )=\sin a.\cos b\pm \cos a.\sin b\)
- \(\cos\left ( a\pm b \right )=\cos a.\cos b\mp \sin a.\sin b\)
- \(\tan\left ( a\pm b \right )=\frac{\tan a\pm \tan b}{1\mp \tan a.\tan b}\)
Công thức nhân đôi lượng giác
- \(\sin2a=2\sin a\cos a\)
- \(\cos2a=\cos^2 a-\sin^2 a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a\)
- \(\tan2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}\)
Công thức nhân ba lượng giác
- \(\sin3a=3\sin a-4\sin^3a\)
- \(\cos3a=4\cos^3a-3\cos a\)
- \(\tan3a=\frac{3\tan a-\tan^3a}{1-3\tan^2a}\)
Công thức hạ bậc lượng giác
- \(\sin^2a=\frac{1-\cos2a}{2}\)
- \(\cos^2a=\frac{1+\cos2a}{2}\)
- \(\sin^3a=\frac{3\sin a-\sin3a}{4}\)
- \(\cos^3a=\frac{3\cos a+\cos3a}{4}\)
- \(\tan^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}\)
Công thức biến đổi tổng thành tích
- \(\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\)
- \(\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\)
- \(\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\)
- \(\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\)
- \(\tan a+\tan b=\frac{\sin\left ( x+y \right )}{\cos x\cos y}\)
- \(\tan a-\tan b=\frac{\sin\left ( x-y \right )}{\cos x\cos y}\)
- \(\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )=\sqrt2\cos\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )\)
- \(\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )=-\sqrt2\cos\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )\)
Công thức biến đổi tích thành tổng
- \(\cos a.\cos b=\frac{1}{2}\left [\cos\left ( a+b \right )+\cos\left (a-b \right ) \right ]\)
- \(\sin a.\sin b=-\frac{1}{2}\left [\cos\left ( a+b \right )-\cos\left (a-b \right ) \right ]\)
- \(\sin a.\cos b=\frac{1}{2}\left [\sin\left ( a+b \right )-\sin\left (a-b \right ) \right ]\)
Công thức lượng giác đặc biệt
- \(1+\sin2x=\left ( \sin x+\cos x \right )^2\)
- \(1-\sin2x=\left ( \sin x-\cos x \right )^2\)
- \(\cos2x=\left ( \sin x-\cos x \right ).\left ( \sin x+\cos x \right )\)\(\cos^2x=\left (1- \sin x \right )\left ( 1+\sin x \right )\)
- \(\sin^2x=\left (1- \cos x \right )\left ( 1+\cos x \right )\)
- \(\sin^4x+\cos^4x =1-\frac{1}{2}\sin^2{2x}\)
- \(\sin^6x+\cos^6x =1-\frac{3}{4}\sin^2{2x}\)
Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản
- \(\sin u=\sin v\Leftrightarrow\left [\begin{array}{l} u=v+k2\pi\\ u=\pi-v+k2\pi \end{array}\right.\)
- \(\cos u=\cos v\Leftrightarrow\left [\begin{array}{l} u=v+k2\pi\\ u=-v+k2\pi \end{array}\right.\)
- \(\tan u=\tan v\Leftrightarrow u=v+k\pi\)
- \(\cot u=\cot v\Leftrightarrow u=v+k\pi\)
Một số trường hợp đặc biệt của công thức lượng giác
- \(\sin u=0\Leftrightarrow u=k\pi\)
- \(\sin u=1\Leftrightarrow u=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)
- \(\sin u=-1\Leftrightarrow u=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\)
- \(\cos u=0\Leftrightarrow u=\frac{\pi}{2}+k\pi\)
- \(\cos u=1\Leftrightarrow u=k2\pi\)
- \(\cos u=-1\Leftrightarrow u=\pi+k2\pi\)
Cách nhớ nhanh thơ về công thức lượng giác
Tỉ số lượng giác
Tìm sin lấy đối chia huyền
Cosin ta lấy kề huyền chia nhau
Còn tang ta hãy tính sau
Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền
Cotang cũng dễ ăn tiền
Kề trên, đối dưới chia liền là ra.
Công thức cộng lượng giác
Sin thì sin cos, cos sin
Cos thì cos cos, sin sin dấu trừ
Tang thì tang cộng lấy tang
Mẫu còn số 1 tang tang dấu trừ.
Cos cộng cos bằng hai cos cos
cos trừ cos bằng trừ hai sin sin
Sin cộng sin bằng hai sin cos
sin trừ sin bằng hai cos sin.
Công thức nhân đôi
Sin gấp đôi bằng 2 sin cos
Cos gấp đôi bằng bình cos trừ bình sinh
Bằng trừ 1 cộng hai bình cos
Bằng 1 trừ hai bình sin
Tang gấp đôi, ta lấy 2 tang chia đi 1 trừ bình tang ra liền.
Công thức nhân ba
Nhân 3 một góc bất kỳ
Sin thì sin hết, cos thì cos thôi
Cơ mà hệ số hỡi ơi
Sin thì ba bốn, cos thời bốn ba
Dấu trừ đặt giữa hai ta
Lập phương chỗ bốn… thế là ok.
Công thức chia đôi
Ta sẽ tính theo t=tg(a/2)
Sin, cos mẫu giống nhau chả khác
Ai cũng là một cộng bình tê (1+t^2)
Sin thì tử có hai tê (2t),
cos thì tử có 1 trừ bình tê (1-t^2)
Công thức hạ bậc lượng giác
Chúng ta dựa vào thơ của công thức nhân đôi và nhân ba của cos, rồi từ đó ta suy ra công thức hạ bậc.
Công thức biến đổi tổng thành tích
Sin tổng lập tổng sin cô.
Cô tổng lập hiệu đôi cô đôi chàng.
Tang tổng thì lập tổng hai tang.
Một trừ tang tích mẫu mang thương sầu.
Gặp hiệu ta chớ phải lo.
Đổi trừ thành cộng ghi sâu trong lòng
Công thức biến đổi tích thành tổng
Cos cos nửa cos cộng, cộng cos trừ
Sin sin nửa cos trừ trừ cos cộng
Sin cos nửa sin cộng cộng sin trừ.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Sao Đi Học ( Sin = Đối / Huyền)
Cứ Khóc Hoài ( Cos = Kề / Huyền)
Thôi Đừng Khóc ( Tan = Đối / Kề)
Có Kẹo Đây ( Cotan = Kề/ Đối)
Sin : đi học (cạnh đối – cạnh huyền)
Cos: không hư (cạnh đối – cạnh huyền)
Tang: đoàn kết (cạnh đối – cạnh kề)
Cotang: kết đoàn (cạnh kề – cạnh đối)
Tìm sin lấy đối chia huyền
Cosin lấy cạnh kề, huyền chia nhau
Còn tang ta hãy tính sau
Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền
Cotang cũng dễ ăn tiền
Kề trên, đối dưới chia liền là ra
Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức quan trọng về công thức sin cos nói riêng cũng như bảng công thức lượng giác cơ bản và nâng cao nói chung. Hy vọng bạn đã tìm thấy những thông tin hữu ích phục vụ cho quá trình học tập cũng như nghiên cứu chủ đề công thức sin cos. Chúc bạn luôn học tập tốt!.
Xem thêm:
- Bài toán cách tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số và Các dạng bài tập
- Cung và góc lượng giác: Tổng hợp Lý thuyết và Bài tập về các dạng toán
- Số gần đúng và sai số lớp 10 – Lý thuyết và Các dạng bài tập cơ bản
- Phương trình lượng giác và Công thức nghiệm phương trình lượng giác
- Đồ thị của hàm số y=ax+b và tổng hợp các dạng đồ thị hàm số liên quan
- Giá trị lượng giác của một cung, Các hệ quả và Bài tập giá trị lượng giác của một cung