lý thuyết về định lý ceva

Định lý Ceva là một trong những định lý quan trọng và rất hay được sử dụng trong các bài toán hình học phẳng. Vậy định lý Ceva là gì? Cách chứng minh định lý Ceva lớp 8? Bài tập định lý Ceva Menelaus?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

Định lý Ceva là gì?

Định nghĩa về Ceva

Định lý Ceva là một định lý phổ biến trong hình học cơ bản, được phát biểu như sau:

Khi ta cho tam giác \( ABC \) và các điểm \( D,E,F \) lần lượt nằm trên các cạnh \( BC,CA,AB \). Khi đó thì các đường thẳng \( AD,BE,CF \) đồng quy khi và chỉ khi: \(\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=1\)

tìm hiểu định lý ceva là gì

Chứng minh định lý Ceva

Giả sử ta đã có \( AD,BE,CF \) đồng quy tại điểm \( O \)

Khi đó ta có :

\(\frac{S_{\Delta AOF}}{S_{\Delta BOF}} = \frac{FA}{FB}\) do cùng chung đường cao hạ từ \( O \) xuống \( AB \)

Tương tự : \(\frac{S_{\Delta ACF}}{S_{\Delta BCF}} = \frac{FA}{FB}\) do cùng chung đường cao hạ từ \( C \) xuống \( AB \)

Từ đó \(\Rightarrow \frac{FA}{FB} = \frac{S_{\Delta ACF}}{S_{\Delta BCF}} = \frac{S_{\Delta AOF}}{S_{\Delta BOF}} = \frac{S_{\Delta ACF} -S_{\Delta AOF} }{S_{\Delta BCF}-S_{\Delta BOF}}=\frac{S_{\Delta AOC}}{S_{\Delta BOC}}\)

Tương tự thì ta có:

\(\frac{DB}{DC} =\frac{S_{\Delta ABO}}{S_{\Delta ACO}}\)

\(\frac{EC}{EA} =\frac{S_{\Delta BOC}}{S_{\Delta AOB}}\)

Vậy  \(\Rightarrow \frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}= \frac{S_{\Delta AOC}}{S_{\Delta BOC}}. \frac{S_{\Delta ABO}}{S_{\Delta ACO}}. \frac{S_{\Delta BOC}}{S_{\Delta AOB}}=1\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chứng minh định lý Ceva đảo

Giả sử ta đã có các điểm \( D,E,F \) thỏa mãn \(\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=1\)

Gọi \( O \) là giao điểm của \( AD,BE \) và \( F’ \) là giao điểm của \( AB,CO \)

Theo phần thuận chứng minh ở trên thì ta có :

\(\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{F’A}{F’B}=1\)

Kết hợp với giả thiết  \(\Rightarrow \frac{FA}{FB}=\frac{F’A}{F’B}\)

\(\Leftrightarrow \frac{FA}{FB}+1=\frac{F’A}{F’B}+1\)

\(\Leftrightarrow \frac{AB}{FB}=\frac{AB}{F’B} \Leftrightarrow F’B=FB\)

Vậy \(F\equiv F’\) hay nói cách khác thì \( AD,BE,CF \) đồng quy

Như vậy ta đã chứng minh được cả hai chiều của Đ/L Ceva. Trong một số bài toán, chúng ta cần vận dụng linh hoạt cả chiều thuận cũng như chiều đảo của định lý để giải quyết bài toán nhanh gọn.

Ví dụ về định lý Ceva

Cho tam giác \( ABC \) và điểm \( O \) nằm trong tam giác. Các đường thẳng \( AO, BO, CO \) lần lượt cắt các cạnh \( BC, CA, AB\) tại \( A_1, B_1, C_1 \). Điểm \( O_1 \) nằm trong tam giác \( A_1B_1C_1 \). Các đường thẳng \( AO_1, BO_1, CO_1 \) lần lượt cắt các cạnh \( B_1C_1, C_1A_1, A_1B_1 \) tại \( A_2, B_2, C_2 \). Chứng minh các đường thẳng \( A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2 \) đồng quy.

Cách giải:

lý thuyết về định lý ceva

Ta có:

\(\frac{A_2B_1}{A_2C_1}=\frac{S_{\Delta A_2AB_1}}{S_{\Delta A_2AC_1}}\) do cùng đường cao hạ từ \( A \) xuống \( B_1C_1 \)

\(\frac{A_2B_1}{A_2C_1}=\frac{S_{\Delta A_2O_1B_1}}{S_{\Delta A_2O_1C_1}}\) do cùng đường cao hạ từ \( O_1 \) xuống \( B_1C_1 \)

Vậy \(\Rightarrow \frac{A_2B_1}{A_2C_1}=\frac{S_{\Delta A_2AB_1}}{S_{\Delta A_2AC_1}} = \frac{S_{\Delta A_2O_1B_1}}{S_{\Delta A_2O_1C_1}} = \frac{S_{\Delta A_2AB_1}+S_{\Delta A_2O_1B_1}}{S_{\Delta A_2AC_1}+S_{\Delta A_2O_1C_1}}=\frac{S_{\Delta O_1AB_1}}{S_{\Delta O_1AC_1}}\)

Tương tự ta cũng có:

\(\frac{B_2C_1}{B_2A_1}=\frac{S_{\Delta O_1BC_1}}{S_{\Delta O_1BA_1}}\)

\(\frac{C_2A_1}{C_2A_1}=\frac{S_{\Delta O_1CA_1}}{S_{\Delta O_1CB_1}}\)

Như vậy ta được:

\(\frac{A_2B_1}{A_2C_1} . \frac{B_2C_1}{B_2A_1} . \frac{C_2A_1}{C_2B_1} =\frac{S_{\Delta O_1AB_1}}{S_{\Delta O_1AC_1}}. \frac{S_{\Delta O_1BC_1}}{S_{\Delta O_1BA_1}}. \frac{S_{\Delta O_1CA_1}}{S_{\Delta O_1CB_1}} \)

\( =\frac{S_{\Delta O_1CA_1}}{S_{\Delta O_1BA_1}}. \frac{S_{\Delta O_1AB_1}}{S_{\Delta O_1CB_1}}. \frac{S_{\Delta O_1BC_1}}{S_{\Delta O_1AC_1}}=\frac{A_1C}{A_1B}. \frac{B_1A}{B_1C}. \frac{C_1B}{C_1A}\)

Mặt khác xét tam giác \( ABC \) có \( AA_1,BB_1,CC_1 \) đồng quy tại \( O \) nên theo định lý Ceva ta có :

\(\frac{A_1B}{A_1C}. \frac{B_1C}{B_1A}. \frac{C_1A}{C_1B}=1\)

Như vậy ta có :

\(\frac{A_2B_1}{A_2C_1} . \frac{B_2C_1}{B_2A_1} . \frac{C_2A_1}{C_2B_1} =\frac{A_1B}{A_1C}. \frac{B_1C}{B_1A}. \frac{C_1A}{C_1B}=1\)

Theo Đ/L Ceva đảo với tam giác \( A_1B_1C_1 \) và các điểm \( A_2,B_2,C_2 \) thì suy ra các đường thẳng \( A_1A_2,B_1B-2,C_1,C_2 \) đồng quy

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Định lý Ceva dạng lượng giác

Một dạng khác của ĐL Ceva đó là định lý Ceva dạng lượng giác hay định lý Ceva dạng sin. Ceva dạng lượng giác thường được áp dụng cho ba đường thẳng mà các điểm khác đỉnh của tam giác không nằm trên các cạnh của tam giác đó. Định lý được phát biểu như sau:

Cho tam giác \( ABC \). Gọi \( M, N, P \) là ba điểm tương ứng nằm trên ba cạnh \( BC, CA, AB \) của tam giác. Khi đó, ba đường thẳng \( AM, BN, CP \) đồng quy khi và chỉ khi \( \frac{\sin \widehat{MAB}}{\sin \widehat{MAC}}.\frac{\sin \widehat{NBC}}{\sin \widehat{NBA}}.\frac{\sin \widehat{PCA}}{\sin \widehat{PCB}}=1 \)

định lý ceva dạng lượng giác

Chứng minh:

Áp dụng định lý \( \sin \) cho các tam giác \( ABM \) và \( ACM \) ta có :

\( BM=\frac{AB\sin \widehat{MAB}}{\sin \widehat{AMB}} \)

\( MC=\frac{AC\sin \widehat{MAC}}{\sin \widehat{AMC}} \)

Vì \( \sin \widehat{AMB}=\sin \widehat{AMC} \) nên suy ra \( \frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin \widehat{MAB}}{\sin \widehat{MAC}} \;\;\;\; (1) \)

Tương tự \( \frac{CN}{NA}=\frac{BC}{AB}.\frac{\sin \widehat{NBC}}{\sin \widehat{NBA}};\ \frac{AP}{PB}=\frac{AC}{BC}.\frac{\sin \widehat{PCA}}{\sin \widehat{PCB}} \;\;\;\; (2) \)

Ba đường thẳng \( AM , BN, CP \) đồng quy nên theo định lý Ceva có \( \frac{BM}{MC}.\frac{CN}{NA}.\frac{AP}{PB}=1 \;\;\;\; (3) \)

Từ \(  (1), (2) \) và \(  (3) \) ta có

\( \frac{\sin \widehat{MAB}}{\sin \widehat{MAC}}.\frac{\sin \widehat{NBC}}{\sin \widehat{NBA}}.\frac{\sin \widehat{PCA}}{\sin \widehat{PCB}}=1\)

Ví dụ 1:

Cho tam giác \(ABC\) và ba đường thẳng \(AD, BE,CF\) đồng quy tại \( O \) với \( D,E,F \) lần lượt nằm trên \( BC,CA,AB \). Gọi \(X,Y,Z\) lần lượt là hình chiếu của \(D,E,F\) lên \(EF,FD,ED\). Chứng minh rằng \(AX,BY,CZ\) đồng quy.

Cách giải:

ví dụ về định lý ceva

Ta sẽ kí hiệu \(D=\widehat{FDE}, E=\widehat{FED}, F=\widehat{DFE}\)

Ta có: \(\frac{FX}{EX} = \frac{S_{AFX}}{S_{AEX}}=\frac{AF.AX.\sin \widehat{FAX}}{AE.AX.\sin \widehat{EAX}}=\frac{AF}{AE}.\frac{\sin \widehat{FAX}}{\sin \widehat{EAX}}\)

Mặt khác ta cũng có: \(\frac{FX}{EX}=\frac{\tan F.DX}{\tan E.DX}=\frac{\tan F}{\tan E}\)

Từ đó suy ra:

\(\frac{AF}{AE}.\frac{\sin \widehat{FAX}}{\sin \widehat{EAX}}=\frac{\tan F}{\tan E} \Leftrightarrow \frac{\sin \widehat{FAX}}{\sin \widehat{EAX}}=\frac{\tan F}{\tan E}.\frac{AE}{AF}\)

Làm tương tự như vậy và nhân lại, ta được:

\(\frac{\sin \widehat{FAX}}{\sin \widehat{EAX}}.\frac{\sin \widehat{ECZ}}{\sin \widehat{DCZ}}.\frac{\sin \widehat{DBY}}{\sin \widehat{FCY}}=1.\frac{AF}{BF}.\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{AE}\)

Theo định lý Ceva cho tam giác \( ABC \), vì \( AD,BE,CF \) đồng quy nên ta có

\(\frac{AF}{BF}.\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{AE}=1\)

Như vậy ta được:

\(\frac{\sin \widehat{FAX}}{\sin \widehat{EAX}}.\frac{\sin \widehat{ECZ}}{\sin \widehat{DCZ}}.\frac{\sin \widehat{DBY}}{\sin \widehat{FCY}}=1\)

Theo định lý Ceva dạng \( \sin \) ta có \( AX,BY,CZ \) đồng quy.

Ứng dụng đồng thời định lý Ceva và Menelaus

Trong hình học phẳng thì hai định lý này thường đi song hành. Một bài toán có thể áp dụng đồng thời cả hai định lý này để giải

Định lý Menelaus phát biểu như sau:

Cho tam giác \( ABC \) và các điểm \( D,E,F \) lần lượt nằm trên các đường thẳng \( BC,CA,AB \). Khi đó các điểm \( D,E,F \) thẳng hàng khi và chỉ khi

\(\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=1\)

ứng dụng của định lý ceva

Ở đây ta nhận thấy rằng : Nếu giả sử \(\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=1\) thì tùy vào số điểm nằm trên cạnh , đường thẳng chứa cạnh của tam giác màât có định lý Ceva hay Menelaus.

  • Nếu cả \( 3 \) điểm \( D,E,F \) nằm trên ba cạnh của tam giác \( ABC \) thì ta có định lý Ceva.
  • Nếu có \( 2 \) điểm nằm trên cạnh và \( 1 \) điểm nằm trên đường thẳng chứa cạnh nhưng nằm ngoài tam giác \( ABC \) thì ta có định lý Menelaus.
  • Nếu có \( 1 \) điểm nằm trên cạnh và \( 2 \) điểm nằm trên đường thẳng chứa cạnh nhưng nằm ngoài tam giác \( ABC \) thì ta có định lý Ceva.
  • Nếu cả \( 3 \) điểm \( D,E,F \) nằm trên ba đường thẳng chứa cạnh và nằm ngoài tam giác \( ABC \) thì ta có định lý Menelaus.

Chúng ta thường áp dụng định lý Ceva để suy ra tỉ số, sau đó biến đổi tỉ số đó rồi áp dụng định lý Menelaus để chứng minh yêu cầu bài toán hoặc ngược lại. Do đó chúng ta cần linh hoạt sử dụng cả chiều thuận cũng như chiều đảo của hai định lý này.

Ví dụ 2:

Cho tam giác \( ABC \) và ba điểm \( D,E,F \) nằm trên \( BC,CA,AB \) sao cho \( AD,BE,CF \) đồng quy. Đường thẳng \( EF \) cắt đường thẳng \( BC \) tại \( Q \) sao cho \( Q \) thuộc nửa mặt phẳng bờ \( AD \) chứa \( B \) . Chứng minh rằng \(\frac{QB}{QC}=\frac{DB}{DC}\)

Cách giải:

kiến thức định lý ceva

Áp dụng định lý Ceva cho tam giác \( ABC \) với \( AD,BE,CF \) đồng quy ta có:

\(\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=1\)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \( ABC \) với \( E,F,Q \) thẳng hàng ta có:

\(\frac{QB}{QC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=1\)

Từ đó \(\Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{QB}{QC}\)

Các dạng định lý Ceva mở rộng

Ngoài định lý Ceva trong tam giác mà chúng ta thường sử dụng thì có một số dạng mở rộng của định lý Ceva mà chúng ta cũng nên biết để có thể áp dụng vào một số bài toán.

Định lý ceva trong không gian

Trong không gian cho tứ diện \( ABCD \). Gọi \( X,Y,Z,W \) lần lượt là bốn điểm nằm trên \( AB,BC,CD,DA \). Khi đó \( 4 \) mặt phẳng \( (AZB), (BWC), (CXD), (DYA) \) cắt nhau tại một điểm khi và chỉ khi

\(\frac{XA}{XB}.\frac{YB}{YC}.\frac{ZC}{ZD}.\frac{WD}{WA}=1\)

một số bài tập về định lý ceva

Chứng minh:

Giả sử \( 4 \) mặt phẳng trên cắt nhau tại điểm \( P \)

Gọi \(A’=BZ\cap DY\) và \(C’=DX\cap BW\)

Khi đó thì ta có:

\((AZB)\cap (AYD)=AA’\) và \( (CXD)\cap (BWC)=CC’\)

Như vậy \( P= AA’ \cap CC’ \) và \( A,C,A,’C’ \) đồng phẳng

Gọi \( T= AC’ \cap A’C \). Do

\(\left\{\begin{matrix} AC’ \in (ABD)\\ A’C \in (CBD)\\ (ABD)\cap (CBD)=BD \end{matrix}\right. \Rightarrow T \in BD\)

Áp dụng định lý Ceva trong mặt phẳng cho các tam giác \( ABD, CBD \) ta được :

\(\frac{WA}{WD}.\frac{TD}{TB}.\frac{XB}{XA}=1\)

\(\frac{TB}{TD}.\frac{ZD}{ZC}.\frac{YC}{YB}=1\)

Nhân hai vế hai đẳng thức trên ta được :

\(\frac{XA}{XB}.\frac{YB}{YC}.\frac{ZC}{ZD}.\frac{WD}{WA}=1\)

Định lý Ceva cho đa giác

Cho đa giác \( n \) cạnh \( A_1A_2…A_n \). Lấy \( n \) điểm \( B_1;B_2;…B_n \) sao cho điểm \( B_i \) nằm trên đường chéo \(A_{i-1}A_{i+1}\). Khi đó các đường thẳng \( A_1B_1; A_2B_2; …; A_nB_n \) đồng quy khi và chỉ khi

\(\frac{B_1A_n}{B_1A_2}.\frac{B_2A_1}{B_2A_3}….\frac{B_nA_{n-1}}{B_nA_1}=1\)

Chứng minh dựa vào tỉ lệ diện tích giống như cách chứng minh định lý Ceva trong tam giác.

Bài tập định lý Ceva Menelaus

Sau đây là một số bài tập ứng dụng định lý Ceva để bạn đọc tự luyện tập.

Bài 1:  Cho tam giác \( ABC \) và ba điểm \(E,F,M \) thứ tự trên các cạnh \(AC,BC,AB \) sao cho \(EF || BC \) và \( MB=MC \). Chứng minh rằng \( CF,BE,AM \) đồng quy.

Bài 2: Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AK \). Dựng bên ngoài tam giác hai hình vuông \( ABEF \) và \( ACGH \). Chứng minh rằng \( AK,BG,CE \) đồng quy.

Bài 3: Cho tam giác \( ABC \). Gọi \( M,N,P \) lần lượt là trung điểm \( BC,CA,AB \). Gọi \( X,Y,Z \) là ba điểm bất kì nằm trên \( BC,CA,AB \) sao cho \( AX,BY,CZ \) đồng quy.Gọi \( D,E,F \) lần lượt là trung điểm \( AX,BY,CZ \). Chứng minh rằng \( MD,NE,PF \) đồng quy.

Bài 4: Cho tam giác \( ABC \) và đường tròn tâm \( I \) nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh \( BC,CA,AB \) lần lượt tại \( D,E,F \). Gọi \( D’,E’,F’\) lần lượt là điểm đối xứng của \( D,E,F \) qua \( I \). Chứng minh \( AD’,BE’,CF’ \) đồng quy.

Bài 5: Cho tam giác \( ABC \). Đường tròn \( (O) \) cắt cạnh \( BC\) tại \( X,Y\); cắt cạnh \( CA\) tại \( Z,T\); cắt cạnh \( AB\) tại \(U,V\) sao cho \( XYZTUV \) là các đỉnh của một lục giác lồi. Lấy các giao điểm \( XT \cap YU=A’;ZV\cap TX=B’;UY\cap VZ=C’ \). Chứng minh rằng \( AA’,BB’ và CC’ \) đồng quy.

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và ứng dụng của định lý Ceva trong các bài toán. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chủ đề định lý Ceva. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua video của thầy Nguyễn Huy Hoàng dưới đây:


(Nguồn: www.youtube.com)

Please follow and like us:
 

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *