Đường cao là một đường thẳng có tính chất quan trọng trong tam giác và liên quan rất nhiều đến các bài toán hình học phẳng. Vậy đường cao là gì? Cách tính đường cao trong tam giác? Tính chất đường cao trong tam giác như nào?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề đường cao là gì, cùng tìm hiểu nhé!. 

Định nghĩa đường cao là gì ?

  • Trong toán học, đường cao của một tam giác theo định nghĩa chính là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. Cạnh đối diện này thường được gọi là đáy tương ứng với đường cao. 
  • Theo lý thuyết, giao điểm của đường cao với đáy thì được gọi là chân của đường cao. 
  • Độ dài của đường cao theo định nghĩa chính là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.

định nghĩa đường cao là gì

Tìm hiểu tính chất đường cao trong tam giác

Thông thường thì trong tam giác, đường cao sẽ được sử dụng để tính diện tích tam giác

Cho tam giác \( ABC \)  có đường cao \( AH \) tương ứng với cạnh đáy \( BC \) . Khi đó diện tích tam giác \( ABC \) được tính theo công thức: 

\( S_{\Delta ABC}=[latex]\frac{1}{2}BC.AH\)

Công thức trên cũng thường được sử dụng để tính độ dài đường cao dựa trên diện tích tam giác: \(AH=\frac{2.S_{\Delta ABC}}{BC}\)

Ví dụ 1:

Cho tam giác \( ABC \)  đường cao \( AH \) . Lấy \( M \)  là trung điểm \( AC.\) . Kẻ \( MK \) vuông góc với \( BC\)  . Biết \(\frac{HB}{HC}=\frac{1}{3}\), tính tỉ số \(\frac{S_{\Delta MKC}}{S_{\Delta ABC}}\)

Cách giải:

đường cao là gì và kiến thức về trực tâm

Vì \(\left\{\begin{matrix} MK \bot BC\\ AH \bot BC \end{matrix}\right. \Rightarrow AH || BC\)

Mà vì \( M \) là trung điểm \( AC \) nên \( \Rightarrow MK \) là đường trung bình của tam giác \( AHC \) 

\( \Rightarrow K \)  là trung điểm của \( HC \) 

\(\Rightarrow \frac{KC}{HC}=\frac{1}{2}\)

Vì \(\frac{HB}{HC}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{HC}{BC}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow \frac{KC}{BC}=\frac{3}{8}\)

Do \( MK \)  là đường trung bình của tam giác \( AHC \) nên \(\frac{MK}{AH}=\frac{1}{2}\)

Vậy ta có :

\(\frac{S_{\Delta MKC}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{MK.KC}{AH.BC}=\frac{MK}{AH}.\frac{KC}{BC}=\frac{1}{2}.\frac{3}{8}=\frac{3}{16}\)

Tính chất đường cao trong tam giác cân

  • Trong tam giác cân, theo định nghĩa, đường cao tương ứng với cạnh đáy chính là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đó. Như vậy, đường cao của tam giác cân đi qua trung điểm của cạnh đáy.
  • Ngoài ra, đường cao của tam giác cân đồng thời cũng là đường phân giác của góc ở đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác.
  • Ngược lại nếu như một tam giác các có đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến hoặc phân giác thì tam giác đó chính là tam giác cân.

tính chất đường cao trong tam giác cân

Ví dụ 2:  

Cho tam giác \( ABC \) đường cao \( AH \) và \( HC=2HB \) . Trên đường thẳng đi qua \( C \) song song với \( AH \) , lấy điểm \( K \) sao cho \( CK = AH \) và \( K \) nằm khác phía với \( A \) qua \( BC \) . \(AK \cap BC = D\). Chứng minh tam giác \( ABD \) cân 

Cách giải:

đường cao là gì cùng với ví dụ minh họa

Vì \(\left\{\begin{matrix} AH \bot BC\\ CK \bot BC \end{matrix}\right. \Rightarrow AH || CK\)

Mà \( AH=CK \Rightarrow AHCK \) là hình bình hành 

\( \Rightarrow D \) là trung điểm của \( HC \) 

\(\Rightarrow \frac{HD}{HC}=\frac{1}{2}=\frac{HB}{HC} \Rightarrow HB=HD\)

\( \Rightarrow \) AH là đường trung tuyến của tam giác \( ABD \) 

Mà \( AH \) cũng là đường cao của tam giác \( ABD \) 

\( \Rightarrow \) tam giác \( ABD \) cân tại \( A \) 

Chú ý: Tam giác đều là một dạng đặc biệt của tam giác cân. Do đó, tính chất đường cao trong tam giác đều cũng tương tự như tính chất đường cao trong tam giác cân.

Tính chất đường cao trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông thì đường cao với đáy là một cạnh góc vuông chính là cạnh góc vuông còn lại. Như vậy thì đỉnh góc vuông chính là chân đường cao hạ từ hai đỉnh còn lại xuống hai cạnh góc vuông của tam giác.

tính chất đường cao trong tam giác vuông

Tính chất đường cao trong tam giác đều

tính chất đường cao trong tam giác đều

Tìm hiểu các công thức tính đường cao trong tam giác 

Công thức Heron: Đây là công thức tổng quát để tính độ dài đường cao của tam giác bất kỳ

\(h_a=2\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}\)

Trong đó:

\( a,b,c \) là độ dài ba cạnh của tam giác

\( p \) là nửa chu vi: \(p=\frac{a+b+c}{2}\)

\( h_a \) là độ dài đường cao tương ứng với cạnh đáy \( a \) 

Ngoài ra trong một số tam giác đặc biệt ta có thể sử dụng các công thức khác để tính đường cao tam giác.

Công thức tính đường cao trong tam giác cân 

\(AH=\sqrt{AB^2-\frac{BC^2}{4}}\)

công thức tính đường cao trong tam giác cân

Công thức tính đường cao trong tam giác đều

\(AH=\sqrt{AB^2-\frac{BC^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)

công thức tính đường cao trong tam giác đều

Công thức tính đường cao trong tam giác vuông 

Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có thể tính độ dài đường cao bằng những công thức như sau:

\(AH =\frac{AB.AC}{BC}\)

\(AH =\sqrt{HB.HC}\)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

công thức tính đường cao trong tam giác vuông

Ví dụ 3: 

Cho tam giác \( ABC cân tại [latex] A có đường cao [latex] AH và [latex] BK. Chứng minh rằng :

[latex]\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4AH^2}\)

Cách giải:

đường cao là gì và cách tính đường cao trong tam giác vuông

Dựng đường thẳng vuông góc với \( BC \) tại \( B \) cắt đường thẳng \( AC \) tại \( D \) . Khi đó ta có :

\(\left\{\begin{matrix} AH \bot BC\\ BD \bot BC \end{matrix}\right.\Rightarrow AH || BD\)

Vì tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) nên đường cao \( AH \) cũng là trung tuyến của \( BC \) 

\( \Rightarrow  H \) là trung điểm \( BC \) 

\( \Rightarrow  AH \) là đường trung bình của tam giác BCD [/latex] 

\( \Rightarrow  BD = 2AH \) 

Áp dụng hệ thức lượng với tam giác vuông \( BCD \) ta có :

\(\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{BD^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4AH^2}\)

Tìm hiểu về trực tâm tam giác 

Định nghĩa trực tâm là gì?

Trực tâm của tam giác hiểu đơn giản chính là giao của ba đường cao xuất phát từ ba đỉnh của tam giác đó, đồng thời vuông góc với cạnh đối diện. Ba đường cao này sẽ giao nhau tại một điểm, ta gọi đó là trực tâm của tam giác.

  • Đối với tam giác nhọn: Trực tâm sẽ nằm ở miền trong tam giác đó.
  • Đối với tam giác vuông: Trực tâm sẽ chính là đỉnh góc vuông.
  • Đối với tam giác tù: Trực tâm sẽ nằm ở miền ngoài tam giác đó.

đường cao là gì và trực tâm là gì

Tính chất trực tâm tam giác

Trực tâm của tam giác có tính chất gì? Đây là câu hỏi mà nhiều học sinh quan tâm. Cùng tìm hiểu về tính chất trực tâm của tam giác dưới đây: 

  • Trong tam giác đều thì trực tâm cũng đồng thời chính là trọng tâm, và cũng là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó. 
  • Theo định lý Carnot: Đường cao kẻ từ một đỉnh của tam giác sẽ cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó tại điểm thứ hai là đối xứng của trực tâm qua cạnh đáy tương ứng.
  • Khoảng cách từ một điểm đến trực tâm của tam giác sẽ bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tam giác đó đến cạnh nối của hai đỉnh còn lại.

Chứng minh tính chất trực tâm tam giác

cách chứng minh tính chất trực tâm tam giác

Gọi \( H \) là trực tâm tam giác \( ABC \) . Dựng đường kính \( BD \) . Kẻ \( OI /bot BC \) 

Vì \( BD \) là đường kính \(\Rightarrow \widehat{BCD}=90^{\circ}\)

\(\Rightarrow DC \bot BC\). Mà \( AH \bot BC \) 

\(\Rightarrow AH || CD\)

Tương tự có \( AD || CH \) do cùng vuông góc với \( AB \) 

Vậy \(\Rightarrow AHCD\) là hình bình hành 

\(\Rightarrow AH = CD \;\;\;\; (1)\)

Xét \( \Delta BCD \) có :

\( O \) là trung điểm \( BD \) 

\( OI || CD \) do cùng vuông góc với \( BC \) 

\(\Rightarrow OI\) là đường trung bình của tam giác \( BCD \) 

\(\Rightarrow OI = \frac{CD}{2} \;\;\;\;\; (2)\)

Từ \( (1)(2) \Rightarrow AH = CD =2OI\)

Ví dụ 4:

Cho tam giác \( ABC nội tiếp đường tròn [latex] (O) \) . Dựng đường cao \( AN,CK \) . Đường tròn ngoại tiếp tam giác \( BKN \) cắt \( (O) \) tại điểm thứ hai \( M \) . Gọi \( I \) là trung điểm \( AC \) . Chứng minh rằng \( IM \bot IB \) 

Cách giải:

bài tập đường cao trong tam giác

Lấy \( J \) là trung điểm \( BH \) 

Vì \(\widehat{BKH}=\widehat{BNH}=90^{\circ} \Rightarrow\) tứ giác \( BNHK \) nội tiếp đường tròn đường kính \( BH \) 

\(\Rightarrow \widehat{BMH}=90^{\circ}\) hay \( BM \bot MH \;\;\;\;\; (1) \) 

Theo tính chất trực tâm ta có :

\(OI=\frac{BH}{2}=JH\)

Mặt khác : \(\left\{\begin{matrix} OI \bot AC\\ JH \bot BC \end{matrix}\right.\Rightarrow OI || JH\)

\(\Rightarrow OIHJ\) là hình bình hành

\(\Rightarrow HI || OJ \;\;\;\; (2)\)

Do \( J \) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( BMH \) nên ta có :

\( JM=JB \) 

Mặt khác \( OM=OB \) 

\(\Rightarrow OJ\) là đường trung trực của \( BM \) 

\(\Rightarrow OJ \bot BM \;\;\;\; (3)\)

Từ \( (2)(3) \Rightarrow HI \bot BM \) 

Mà từ \( (1) \) có \( MH \bot BM \) 

Từ đó \(\Rightarrow \overline{I,H,M}\) và \( IM \bot MB \) 

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải bài toán liên quan đến đường cao trong tam giác. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề đường cao là gì. Chúc bạn luôn học tốt!.

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:


(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm >>> Chuyên đề số trung bình cộng lớp 7 và Các dạng toán liên quan

Please follow and like us:
error
 
Tagged:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *