Định nghĩa đường cao là gì ?
- Trong toán học, đường cao của một tam giác theo định nghĩa chính là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. Cạnh đối diện này thường được gọi là đáy tương ứng với đường cao.
- Theo lý thuyết, giao điểm của đường cao với đáy thì được gọi là chân của đường cao.
- Độ dài của đường cao theo định nghĩa chính là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.
Tìm hiểu tính chất đường cao trong tam giác
Thông thường thì trong tam giác, đường cao sẽ được sử dụng để tính diện tích tam giác
Cho tam giác ABC có đường cao AH tương ứng với cạnh đáy BC . Khi đó diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:
\(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BC.AH\)
Công thức trên cũng thường được sử dụng để tính độ dài đường cao dựa trên diện tích tam giác: \(AH=\frac{2.S_{\Delta ABC}}{BC}\)
Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC đường cao AH . Lấy M là trung điểm AC. . Kẻ MK vuông góc với BC . Biết \(\frac{HB}{HC}=\frac{1}{3}\), tính tỉ số \(\frac{S_{\Delta MKC}}{S_{\Delta ABC}}\)
Cách giải:
Vì \(\left\{\begin{matrix} MK \bot BC\\ AH \bot BC \end{matrix}\right. \Rightarrow AH || BC\)
Mà vì M là trung điểm AC nên \(⇒MK\) là đường trung bình của tam giác AHC
\(⇒K \) là trung điểm của HC
\(\Rightarrow \frac{KC}{HC}=\frac{1}{2}\)
Vì \(\frac{HB}{HC}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{HC}{BC}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{KC}{BC}=\frac{3}{8}\)
Do MK là đường trung bình của tam giác AHC nên \(\frac{MK}{AH}=\frac{1}{2}\)
Vậy ta có :
\(\frac{S_{\Delta MKC}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{MK.KC}{AH.BC}=\frac{MK}{AH}.\frac{KC}{BC}=\frac{1}{2}.\frac{3}{8}=\frac{3}{16}\)
Tính chất đường cao trong tam giác cân
- Trong tam giác cân, theo định nghĩa, đường cao tương ứng với cạnh đáy chính là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đó. Như vậy, đường cao của tam giác cân đi qua trung điểm của cạnh đáy.
- Ngoài ra, đường cao của tam giác cân đồng thời cũng là đường phân giác của góc ở đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác.
- Ngược lại nếu như một tam giác các có đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến hoặc phân giác thì tam giác đó chính là tam giác cân.
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC đường cao AH và \(HC=2HB\) . Trên đường thẳng đi qua C song song với AH , lấy điểm K sao cho \(CK=AH\) và K nằm khác phía với A qua BC . \(AK∩BC=D\). Chứng minh tam giác ABD cân
Cách giải:
Cách giải:
Vì \(\left\{\begin{matrix} AH \bot BC\\ CK \bot BC \end{matrix}\right. \Rightarrow AH || CK\)
Mà \(AH=CK⇒AHCK\) là hình bình hành
\(⇒D\) là trung điểm của HC
\(\Rightarrow \frac{HD}{HC}=\frac{1}{2}=\frac{HB}{HC} \Rightarrow HB=HD\)
\(⇒ AH\) là đường trung tuyến của tam giác ABD
Mà AH cũng là đường cao của tam giác ABD
\(⇒\) tam giác ABD cân tại A
Chú ý: Tam giác đều là một dạng đặc biệt của tam giác cân. Do đó, tính chất đường cao trong tam giác đều cũng tương tự như tính chất đường cao trong tam giác cân.
Tính chất đường cao trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông thì đường cao với đáy là một cạnh góc vuông chính là cạnh góc vuông còn lại. Như vậy thì đỉnh góc vuông chính là chân đường cao hạ từ hai đỉnh còn lại xuống hai cạnh góc vuông của tam giác.
Tính chất đường cao trong tam giác đều
Tìm hiểu các công thức tính đường cao trong tam giác
Công thức Heron: Đây là công thức tổng quát để tính độ dài đường cao của tam giác bất kỳ
\(h_a=2\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}\)
Trong đó:
\(a,b,c \) là độ dài ba cạnh của tam giác
\(p\) là nửa chu vi: \(p=\frac{a+b+c}{2}\)
\(h_a\) là độ dài đường cao tương ứng với cạnh đáy \(a \)
Ngoài ra trong một số tam giác đặc biệt ta có thể sử dụng các công thức khác để tính đường cao tam giác.
Công thức tính đường cao trong tam giác cân
\(AH=\sqrt{AB^2-\frac{BC^2}{4}}\)
Công thức tính đường cao trong tam giác đều
\(AH=\sqrt{AB^2-\frac{BC^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Công thức tính đường cao trong tam giác vuông
Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có thể tính độ dài đường cao bằng những công thức như sau:
\(AH =\frac{AB.AC}{BC}\)
\(AH =\sqrt{HB.HC}\)
\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)
Ví dụ 3:
Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH và BK. Chứng minh rằng :
\(\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4AH^2}\)
Cách giải:
Dựng đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng AC tại D . Khi đó ta có :
\(\left\{\begin{matrix} AH \bot BC\\ BD \bot BC \end{matrix}\right.\Rightarrow AH || BD\)
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH cũng là trung tuyến của BC
\(⇒H\) là trung điểm BC
\(⇒AH\) là đường trung bình của tam giác BCD
\(⇒BD=2AH \)
Áp dụng hệ thức lượng với tam giác vuông BCD ta có :
\(\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{BD^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4AH^2}\)
Tìm hiểu về trực tâm tam giác
Định nghĩa trực tâm là gì?
Trực tâm của tam giác hiểu đơn giản chính là giao của ba đường cao xuất phát từ ba đỉnh của tam giác đó, đồng thời vuông góc với cạnh đối diện. Ba đường cao này sẽ giao nhau tại một điểm, ta gọi đó là trực tâm của tam giác.
- Đối với tam giác nhọn: Trực tâm sẽ nằm ở miền trong tam giác đó.
- Đối với tam giác vuông: Trực tâm sẽ chính là đỉnh góc vuông.
- Đối với tam giác tù: Trực tâm sẽ nằm ở miền ngoài tam giác đó.
Tính chất trực tâm tam giác
Trực tâm của tam giác có tính chất gì? Đây là câu hỏi mà nhiều học sinh quan tâm. Cùng tìm hiểu về tính chất trực tâm của tam giác dưới đây:
- Trong tam giác đều thì trực tâm cũng đồng thời chính là trọng tâm, và cũng là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó.
- Theo định lý Carnot: Đường cao kẻ từ một đỉnh của tam giác sẽ cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó tại điểm thứ hai là đối xứng của trực tâm qua cạnh đáy tương ứng.
- Khoảng cách từ một điểm đến trực tâm của tam giác sẽ bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tam giác đó đến cạnh nối của hai đỉnh còn lại.
Chứng minh tính chất trực tâm tam giác
Gọi H là trực tâm tam giác ABC . Dựng đường kính BD . Kẻ \(OI \bot BC \)
Vì BD là đường kính \(\Rightarrow \widehat{BCD}=90^{\circ}\)
\(⇒DC⊥BC\). Mà \(AH⊥BC \)
\(⇒AH||CD\)
Tương tự có \(AD||CH\) do cùng vuông góc với AB
Vậy \(⇒AHCD\) là hình bình hành
\(⇒AH=CD(1)\)
Xét \(ΔBCD\) có :
O là trung điểm BD
\(OI||CD\) do cùng vuông góc với BC
\(⇒OI\) là đường trung bình của tam giác BCD
\(⇒OI=CD2\) (2)
Từ (1)(2) \(⇒AH=CD=2OI\)
Ví dụ 4:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Dựng đường cao AN,CK . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt (O) tại điểm thứ hai M . Gọi I là trung điểm AC . Chứng minh rằng IM⊥IB
Cách giải:
Lấy J là trung điểm BH
Vì \(\widehat{BKH}=\widehat{BNH}=90^{\circ} \Rightarrow\) tứ giác BNHK nội tiếp đường tròn đường kính BH
\(\Rightarrow \widehat{BMH}=90^{\circ}\) hay BM⊥MH(1)
Theo tính chất trực tâm ta có :
\(OI=\frac{BH}{2}=JH\)
Mặt khác : \(\left\{\begin{matrix} OI \bot AC\\ JH \bot BC \end{matrix}\right.\Rightarrow OI || JH\)
\(⇒OIHJ\) là hình bình hành
\(⇒HI||OJ\)(2)
Do J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMH nên ta có :
\(JM=JB \)
Mặt khác \(OM=OB \)
\(⇒OJ\) là đường trung trực của BM
\(⇒OJ⊥BM\)(3)
Từ (2)(3)\(⇒HI⊥BM \)
Mà từ (1) có \(MH⊥BM \)
Từ đó\(\Rightarrow \overline{I,H,M}\)và \(IM⊥MB \)
Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải bài toán liên quan đến đường cao trong tam giác. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề đường cao là gì. Chúc bạn luôn học tốt!.
Xem thêm >>> Chuyên đề số trung bình cộng lớp 7 và Các dạng toán liên quan