Trọng tâm tam giác là gì?
Cho tam giác \(ABC\). Ba đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh của tam giác đồng quy tại một điểm \(G.\)Điểm \(G\) đó được gọi là trọng tâm của tam giác \(ABC\)
Tính chất trọng tâm của tam giác
Khoảng cách từ trọng tâm tới mỗi đỉnh bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó.
\(\frac{AG}{AM}=\frac{BG}{BN}=\frac{CG}{CP}=\frac{2}{3}\)
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\)
Cách tìm tọa độ trọng tâm tam giác
Tọa độ trọng tâm tam giác trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) có tọa độ ba đỉnh lần lượt là : \(A(xA;yA);B(xB;yB);C(xC;yC)\) . Khi đó tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là : \(G(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3})\)
Chứng minh:
Gọi \(AM;BN;CP\) lần lượt là ba đường trung tuyến của tam giác \(ABC\)
Vì \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(\Rightarrow M(\frac{x_B+x_C}{2};\frac{y_B+y_C}{2}) \;\;\;\;\; (1)\)
Do \(\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{GA}{GM}=2\)
\(\Rightarrow G (\frac{x_A+2x_M}{3};\frac{y_A+2y_M}{3}) \;\;\;\;\; (2)\)
Thay\( (1)\) vào \((2)\) ta được
\(G(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3})\)
Ví dụ:
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB=AC\). Biết rằng \(M(1;−1) \)là trung điểm \(BC \)và \(\Rightarrow G (\frac{2}{3};0)\) là trọng tâm của \(ΔABC\). Tìm tọa độ các đỉnh của \(ΔABC\)
Cách giải:
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên :
\(\Rightarrow G (\frac{x_A+2x_M}{3};\frac{y_A+2y_M}{3})\)
\(\Rightarrow A(3x_G-2x_M;3y_G-2y_M)\Rightarrow A(0;2)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AM} =(-1;3)\)
Vì \(ΔABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AM\) là trung tuyến \(⇒AM⊥BC\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AM}\) là véc tơ pháp tuyến của \(BC\)
\(\Rightarrow\) phương trình \(BC : -1(x-1)+3(y+1)=0\)
\(\Rightarrow BC:-x+3y+4=0\)
Vì \(ΔABC\) vuông nên \(\Rightarrow AM =\frac{BC}{2}=BM=CM\)
\(B(3a+4;a)\Rightarrow BM^2=(3a+3)^2+(a+1)^2=10(a+1)^2\)
\(AM^2= 1^2+3^2=10\)
\(\Rightarrow 10=10(a+1)^2\Rightarrow (a+1)^2=1 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} a=0\\ a=-2 \end{array}\right.\)
Vậy \(\left[\begin{array}{l} B(4;0)\Rightarrow C(-2;-2)\\ B(-2;-2)\Rightarrow C(4;0) \end{array}\right.\)
Vậy tọa độ ba đỉnh \(ΔABC\) là \(A(0;2);B(4;0);C(−2;−2)\) hoặc \(A(0;2);B(−2;−2);C(4;0)\)
Tọa độ trọng tâm tam giác trong không gian
Trong không gian \(Oxyz\) cho tam giác \(ABC\) có tọa độ ba đỉnh lần lượt là : \(A(x_A;y_A;z_A) ; B(x_B;y_B;z_B); C(x_C;y_C;z_C)\) Khi đó tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC \)là : \(G(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3})\)
Chứng minh:
Tương tự phần chứng minh trong mặt phẳng
Ví dụ:
Trong không gian \(Oxyz\) cho tam giác \(ABC\) có tọa độ \(B(1;1;0);C(3;−1;2)\) và trọng tâm \(G(2;0;0)\). Viết phương trình đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\)
Cách giải:
Ta có :
\(A(3x_G-x_B-x_C;3y_G-y_B-y_C;3z_G-z_B-z_C)\)
\(\Rightarrow A(2;0;-2)\)
\(\overrightarrow{BC}= (2;-2;2) \Rightarrow\) phương trình \(BC\) :
\(\left\{\begin{matrix} x=1+t\\y=1-t \\ z=t \end{matrix}\right.\)
Giả sử \(H(1+a;1-a;a)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AH}=(a-1;1-a;a+2)\)
Vì \(AH \bot BC \Rightarrow (a-1)+(a-1)+(a+2)=0 \Rightarrow a=0\)
\(\Rightarrow H \equiv B\)
\(\overrightarrow{AB}=(-1;1;2)\Rightarrow\) phương trình đường cao:
\(\left\{\begin{matrix} x=1-t\\y= 1+t \\z=2t \end{matrix}\right.\)
Các công thức trọng tâm tam giác
Sau đây là một số công thức trọng tâm tam giác giúp giải quyết nhanh những câu hỏi trắc nghiệm.
Cho tam giác\( ABC\) có \(AM;BN;CP\) là ba đường trung tuyến, cắt nhau tại \(G\) là trọng tâm của tam giác. Khi đó ta có :
- Diện tích các tam giác nhỏ bằng nhau:
\(S _{APG}=S_{ANG}=S_{CNG}=S_{CMG}=S_{BMG}=S_{BPG}=\frac{S_{ABC}}{6} \)
\(S _{ABG}=S_{ACG}=S_{BCG}=\frac{S_{ABC}}{3} \)
- Độ dài các đường trung tuyến:
\(AM=\frac{\sqrt{2AB^2+2AC^2-BC^2}}{2}\)
\(BN=\frac{\sqrt{2BA^2+2BC^2-AC^2}}{2}\)
\(CP=\frac{\sqrt{2CA^2+2CB^2-AB^2}}{2}\)
\(\Rightarrow AM^2+BN^2+CP^2=\frac{3}{4}(AB^2+BC^2+CA^2)\)
- Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC. Khi đó :
\(|AB^2-AC^2|=2BC.MH\)
Ví dụ:
Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh lần lượt là \(AB=4cm;AC=7cm;BC=8cm\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Tính độ dài đoạn \(AG\)
Cách giải:
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến, ta có :
\(AG=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{2AB^2+2AC^2-BC^2}}{2}=\frac{2}{3}. \frac{\sqrt{66}}{2}=\frac{\sqrt{66}}{3}\)
Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp các công thức và bài toán về tọa độ trọng tâm trong tam giác. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chủ đề tọa độ trọng tâm tam giác. Chúc bạn luôn học tốt!.