Lý thuyết tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Tổng quát tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Trong hình học, đường tròn nội tiếp của một tam giác là đường tròn lớn nhất nằm trong tam giác; nó tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác. Tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong.
Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Cách 1: Gọi D,E,F là chân đường phân giác trong của tam giác ABC kẻ lần lượt từ A,B,C
- Bước 1 : Tính độ dài các cạnh của tam giác
- Bước 2 : Tính tỉ số \(k_{1} = \frac{AB}{AC}, k_{2} = \frac{BA}{BC}, k_{3}=\frac{CA}{CB}\)
- Bước 3 : Tìm tọa độ các điểm D, E, F
- Bước 4: Viết phương trình đường thẳng AD,BE
- Bước 5: Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm của AD và BE
Cách 2: Trong mặt phẳng Oxy, ta có thể xác định tọa độ điểm I như sau:
\(\left\{\begin{matrix} x_{I} = \frac{BC.x_{A} + CA.x_{B} + AB.x_{C}}{BC+CA+AB}\\ y_{I} = \frac{BC.y_{A}+CA.y_{B}+AB.y_{C}}{BC+AC+BC} \end{matrix}\right.\)
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Cho tam giác ABC
Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB
Đặt \(p = \frac{a + b + c}{2}\) , ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp:
\(r = \frac{2S}{a + b + c} = \frac{S}{p} = (p – a)\tan \frac{A}{2} = (p – b)\tan \frac{B}{2} = (p – c)\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(p – a)(p – b)(p – c)}{p}}\)
Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
Cho tam giác ABC có \(A(x_{A};y_{A}), B(x_{B}; y_{B}), C(x_{C}; y_{C})\)
Cách 1:
- Viết phương trình hai đường phân giác trong góc A và B
- Tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên
- Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác ta được bán kính
- Viết phương trình đường tròn
Cách 2:
- Viết phương trình đường phân giác trong của đỉnh A
- Tìm tọa độ chân đường phân giác trong đỉnh A
- Gọi I là tâm đường tròn, tọa độ I thỏa mãn hệ thức \(\underset{ID}{\rightarrow}=- \frac{BD}{BA}\underset{IA}{\rightarrow}\)
- Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác
- Viết phương trình đường tròn
Bài tập về đường tròn nội tiếp tam giác
Dạng 1: Tìm tâm của đường tròn nội tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) và C(4;-1).Tìm tâm I của đương tròn nội tiếp tam giác ABC .
Giải:
Ta có \(AB= 5\sqrt{5}, AC=3\sqrt{5} BC=4\sqrt{5}\)
Do đó:
\(\left\{\begin{matrix} x_{I} = \frac{BC.x_{A} + CA.x_{B} + AB.x_{C}}{BC+CA+AB} = \frac{4\sqrt{5}.1 + 3\sqrt{5}.(-4)+5\sqrt{5}.4}{4\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5\sqrt{5}} = 1\\ y_{I} = \frac{BC.y_{A}+CA.y_{B}+AB.y_{C}}{BC+AC+BC} = \frac{4\sqrt{5}.5 + 3\sqrt{5}.(-5)+5\sqrt{5}.(-1)}{4\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5\sqrt{5}}=0\end{matrix}\right.\)
Vậy tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(1;0)
Dạng 2: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;6), B(-3;-4), C(5;0). Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Giải:
Ta có, \(AB=5\sqrt{5} , AC= 3\sqrt{5}, BC= 4\sqrt{5}\)
\(p=\frac{AB+AC+BC}{2} = \frac{5\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5}}{2} = 6\sqrt{5}\)
Do đó, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là
\(r = \sqrt{\frac{(p – a)(p – b)(p – c)}{p}} = \sqrt{\frac{(6\sqrt{5} – 5\sqrt{5})(6\sqrt{5}-3\sqrt{5})(6\sqrt{5}-4\sqrt{5})}{6\sqrt{5}}} = \sqrt{5}\)
Dạng 3: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh
Ví dụ: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(11; -7), B(23;9), C(-1,2). Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Giải:
Ta có phương trình cạnh BC: \(7x-24y+55=0\)
Phương trình đường phân giác góc A: \(7x+y−70=0\)
Gọi D là chân đường phân giác trong đỉnh A. Tọa độ D là nghiệm của hệ:
\(\left\{\begin{matrix} 7x+y-70=0\\ 7x-24y+55=0\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{65}{7}\\ y=5 \end{matrix}\right. \Rightarrow D\left ( \frac{65}{7}; 5 \right )\)
Gọi I(a,b) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ta có:
\(\underset{IA}{\rightarrow} = (11-a;-7-b), \underset{ID}{\rightarrow} = (\frac{65}{7}-a; 5-b), BA = 20, BD= \frac{100}{7}\)
\(\underset{ID}{\rightarrow} = -\frac{BD}{BA}\underset{IA}{\rightarrow} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{65}{7}-a = -\frac{5}{7}(11-a)\\ 5-b = -\frac{5}{7}(-7-b) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=10\\ b=0 \end{matrix}\right.\)
Vậy tọa độ I(10,0)
Bán kính đường tròn nội tiếp: \(r=d(I,AB)=5\)
Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC: \((x-10)^2+y^2=25\)
Trên đây là những lý thuyết và bài tập ví dụ tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Hy vọng đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích phục vụ cho quá trình tìm hiểu của bản thân. Chúc bạn luôn học tập tốt!