Định nghĩa đường trung tuyến là gì?
Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.
Định nghĩa đường trung tuyến của tam giác
Trong hình học thì đường trung tuyến của một tam giác được định nghĩa là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ có 3 đường trung tuyến.
Ví dụ:
Theo như hình vẽ trên thì các đoạn thẳng AI, CN, BM sẽ là 3 trung tuyến của tam giác ABC.
Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác
- Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
- Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.
- Vị trí của trọng tâm tam giác: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Ví dụ:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC có các trung tuyến AI, BM, CN thì ta sẽ có biểu thức:
\(\frac{AG}{AI} =\frac{BG}{BM} = \frac{CG}{CN}= \frac{2}{3}\)
Một số định lý đường trung tuyến trong tam giác
Thực hành: Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện. Bằng cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại.
Quan sát tam giác vừa cắt (trên đó đã vẽ ba đường trung tuyến). Cho biết: Ba đường trung tuyến của tam giác này có cùng đi qua một điểm hay không?
Định lý 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. điểm gặp nhau của 3 đường trung tuyến gọi là trọng tâm (centroid) của tam giác đó.
Định lý 2: Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác ấy thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.
Ví dụ minh họa:
Tam giác \(ΔABC\) có \(D, E, F\) là \(BC, CA, AB\). Khi đó \(AD, BE, CF\) lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh \(A, B, C. AD, BE, CF\) đồng quy ở \(G\).
Ta có \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ΔABC\).
Theo định nghĩa, \(AE=EC\), \(CD=DB\), \(BF= FA\), do đó:
\(SΔAGE=SΔCGE\);\(SΔBGD=SΔCGD\);\(SΔAGF=SΔBGF\) trong đó kí hiệu \(ΔABC\) là diện tích của tam giác \(ABC\).
Điều này đúng bởi trong mỗi trường hợp hai tam giác có chiều dài đáy bằng nhau, và có cùng đường cao từ đáy, mà diện tích của một tam giác thì bằng 1/2 chiều dài đáy nhân với đường cao, khi ấy hai tam giác ấy có diện tích bằng nhau.
Chúng ta có:
\(S\Delta ACG=S\Delta ACD-S\Delta CGD;S\Delta ABG=S\Delta ABD-S\Delta BGD\)
Do đó ta có : \(S\Delta ABG=S\Delta ACG\) và \(S\Delta DBG=S\Delta DCG\); \(S\Delta CDG=\frac{1}{2}S\Delta ACG\)
Do \(S\Delta BGF=S\Delta AGF\); \(S\Delta AGF=\frac{1}{2}S\Delta ACG=S\Delta BGF=\frac{1}{2}S\Delta BCG\)
Do vậy, \(S\Delta AFG=S\Delta BFG=S\Delta BGD=S\Delta CGD\)
Sử dụng cùng phương pháp này. ta có thể chứng minh điều sau:
\(S\Delta AFG=S\Delta BFG=S\Delta BGD=S\Delta CGD=S\Delta CGE= S\Delta AGE\)
Định lý 3 : Về vị trí trọng tâm: trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 23 độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy.
Ví dụ như sau:
Tam giác \(ΔABC\) có \(AD, BE, CF\) lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh \(A, B, C\). Theo định lý 1 thì ba đường này đồng quy tại một điểm gọi là điểm \(G\).
Theo định lý 2 thì:
\(AG=\frac{2}{3}AD; BG=\frac{2}{3}BE; CG=\frac{2}{3}CF\)
Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt
Tìm hiểu đường trung tuyến trong tam giác vuông
Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.
Chính bởi vậy mà đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.
Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Ví dụ 1:
Tam giác \(ABC\) vuông ở \(B\), độ dài đường trung tuyến \(BM\) sẽ bằng \(MA, MC\) và bằng \(\frac{1}{2}AC\)
Ngược lại nếu BM = \(\frac{1}{2}\) AC thì tam giác \(ABC\) sẽ vuông ở B.
Ví dụ 2:
Tam giác \(ΔABC\) vuông ở \(A\), độ dài đường trung tuyến \(AM\) sẽ bằng \(MB, MC\) và bằng \(\frac{1}{2}\)\( BC\).
Ngược lại nếu\( AM = \frac{1}{2} BC \) thì tam giác \(ΔABC\) sẽ vuông ở \(A\).
Chứng minh:
Cho tam giác \(ΔABC\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh rằng:
- Nếu = \(90^0\) thì \(MA = \frac12BC\)
- Nếu \(MA = \frac12BC\) thì góc \(\widehat{A}=90^0\).
Xét tam giác \(ΔABC\) có M là trung điểm của \(BC\).
Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(N\) sao cho \(MN = MA\).
Ta có:
\(\widehat{AMB}=\widehat{NMC}\)(đối đỉnh)
BM = CM (giả thiết)
MA = MN (dựng hình)
Suy ra: \(ΔMAB =ΔMNC \) (c.g.c)
Suy ra: NC = AB và \(\widehat{MBA}\)=\(\widehat{MCN}\)
- a) Do \(\widehat{MBA}\) = \(\widehat{MCN}\) nên \(AB // NC\) suy ra \(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{ACN}\) = \(180^0\).
Nếu góc \(\widehat{BAC}\) = \(90^0\) thì góc \(\widehat{ACN}\) = \(90^0\).
Khi đó ta có: \(ΔABC = ΔCNA\) (c.g.c) vì có \(AC\) chung; \(AB = NC\) (cmt) và \(\widehat{BAC}=\widehat{ACN}=90^0\).
Ta có:\( AN = BC => AM = \frac12 BC\)
- b) Ta có: \(MA=\widehat{A}AN\). Nếu MA =\(\widehat{A}\) BC thì AN = BC.
Lại có AB = CN (cmt)
Suy ra \(ΔABC= ΔCNA\) (c.c.c), suy ra: góc \(\widehat{BAC}\) = \(\widehat{ACN}\)
Mà \(\widehat{BAC}+\widehat{ACN}=180^0\) = 1800 (vì \(AB // CA\)) nên \(\widehat{BAC}=90^0\) (dpcm)
Bài tập ví dụ: Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.
Gợi ý giải: Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông: đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì có độ dài bằng một nửa cạnh huyền và định lý Pitago.
Tìm hiểu đường trung tuyến trong tam giác cân, tam giác đều
Tính chất: Đường trung tuyến trong tam giác cân (và tam giác đều) ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cái đấy và chia tam giác các thành hai tam giác bằng nhau.
Tam giác đều \(ΔABC\) có \(AM, BN, CP\) lần lượt là ba đường trung tuyến của tam giác. Theo tính chất của đường trung tuyến trong tam giác đều ta có:
\(AM⊥BC;BN⊥AC;CP⊥AB\)
và \(ΔABM=ΔACM;ΔABN=ΔCBN;ΔACP=ΔBCP.\)
Bài tập ví dụ:
Chứng minh trong một tam giác cân thì hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau
Chứng minh định lý đảo của định lý trên: Nếu tam giác có 2 đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
Công thức liên quan tới độ dài của trung tuyến
Ta có thể tính được độ dài đường trung tuyến của một tam giác thông qua độ dài các cạnh của tam giác ấy. Độ dài của trung tuyến được tính bằng định lý Apollonius như sau:
Trong đó a, b và c là các cạnh của tam giác với các trung tuyến tương ứng ma,mb,mc từ trung điểm.
Vậy là ta đã tìm hiểu khá đầy đủ về định nghĩa và tính chất của đường trung tuyến, cũng như áp dụng nó trong một số trường hợp đặc biệt. Sau đây chúng ta hãy luyện tập thông qua một số bài tập đơn giản nhé.
Một số bài tập đường trung tuyến lớp 7
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng x’x và y’y gặp nhau ở O. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, AB=2OA. Trên y’y lấy hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M và gọi P là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.
Cách giải:
Ta có O là trung điểm của đoạn LM (gt)
Suy ra BO là đường trung tuyến của ΔBLM (1)
Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa O, B hay BO = 2 AO + AO= 3AO vì AB = 2AO (gt)
Suy ra \(AO= \frac{1}{3} BO\) hay \(BA= \frac{2}{3} BO\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra A là trọng tâm của ΔBLM ( tính chất của trọng tâm)
mà LP và MQ là các đường trung tuyến của ΔBLM vì P là trung điểm của đoạn thẳng MB (gt)
suy ra các đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A ( tính chất của ba đường trung tuyến)
Ví dụ 2: Cho ΔABC có BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME=MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF=NG. Chứng minh:
- EF=BC
- Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC.
Cách giải:
a.) Ta có\( BM\) và \(CN\) là hai đường trung tuyến gặp nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ΔABC\).
\(⇒GC=2GN\)
mà \(FG=2GN⇒GC=GF\)
Tương tự \(BG, GE\) và \(\widehat{G_{1}}=\widehat{G_{2}}\) (đd). Do đó \(ΔBGC=ΔEGF\)(c.g.c))
Suy ra \(BC=EF\)
b.) \(G\) là trọng tâm nên \(AG\) chính là đường trung tuyến thứ ba trong tam giác \(ABC\)
nên \(AG\) đi qua trung điểm của \(BC\).
Trắc nghiệm tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Câu 1: Chọn câu sai:
- Trong một tam giác có 3 đường trung tuyến
- Các đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm
- Giao của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó
- Một tam giác có hai trọng tâm
Câu 2: Điền số thích hợp vào chỗ chấm:”Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng… độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy”
- \(\frac23\)
- \(\frac32\)
- 2
- 3
Câu 3: Cho tam giác \(ΔABC\) có đường trung tuyến \(AM = 9cm\) và trọng tâm G. Độ dài đoạn AG là:
- 4.5 cm
- 3 cm
- 6 cm
- 4 cm
Bài tập thực hành đường trung tuyến trong tam giác
Bài 1: Cho tam giác \(ΔABC\) , với AM là đường trung tuyến , biết đường trung tuyến AM=\(\frac12\)BC, hãy chứng minh rằng tam giác \(ΔABC\) vuông ở góc A:
Bài 2: Cho tam giác vuông \(ΔABC\) với góc A là góc vuông, có cạnh AB = 18cm, cạnh AC = 24cm, hãy tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác \(ΔABC\).
Bài 3: Cho tam giác \(ΔABC\), đường trung tuyến của tam giác là đoạn BM, trên đoạn thẳng BM lấy hai điểm G và K sao cho đoạn thẳng BG = BM và G là trung điểm của BK, gọi điểm N là trung điểm của KC , GN cắt CM ở điểm O, hãy chứng minh :
- GO=\(\frac13\)BC
- O là trọng tâm của tam giác GKC
Bài 4: Cho tam giác ΔABC, trên cạnh đối của cạnh AB , hãy lấy điểm D sao cho đoạn thẳng AD = AB, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho đoạn thẳng AE = \(\frac13\) AC, đoạn thẳng BE cắt CD ở điểm M, các bạn hãy chứng minh AM=\(\frac12\)BC và M là trung điểm của CD.
Bài 5: Cho điểm G là trọng tâm của tam giác đều ΔABC, các bạn hãy chứng minh rằng các cạnh GA , GB , GC bằng nhau.
Bài 6: Cho 1 tam giác ΔABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm, hãy kẻ đường trung tuyến AM. Tính độ dài AM và chứng minh: AM vuông góc với BC.
Bài 7:Gọi G là trọng tâm của tam giác ΔABC. Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của AG’. So sánh các cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ΔABC. So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ΔABC.
Bài 8: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ. D là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE=DA. Chứng minh tam giác ABD = tam giác ECD. Tính AD biết AB=6cm, AC= 8cm.
Các dạng toán thường gặp về đường trung tuyến
Dạng 1: Tìm các tỉ lệ giữa các cạnh và tính độ dài của đoạn thẳng
Phương pháp giải:
Với dạng toán này, ta cần chú ý đến vị trị trọng tâm của tam giác.
Với G là trọng tâm của tam giác ABC với AD, BE và CF là ba đường trung tuyến, lúc này ta có:
Dạng 2: Đường trung tuyến với các tam giác đặc biệt
Đây là dạng toán đường trung tuyến ở các tam giác đặc biệt như tam giác cân, tam giác đều hay tam giác vuông.
Phương pháp giải:
Ta cần lưu ý trong tam giác cân hay tam giác đều thì đường trung tuyến ứng với cạnh đáy chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.
Như vậy, thông qua bài viết trên hi vọng Dinhnghia.vn đã giúp các bạn, đặc biệt các em học sinh lớp 7 có một cái nhìn ở tổng quan nhất về định nghĩa, các tính chất của đường trung tuyến trong tam giác. Các bạn hãy đọc thật kỹ và luyện tập chúng thông qua những bài tập ở cuối bài viết để nắm chắc hơn kiến thức về định nghĩa đường trung tuyến nhé. Chúc bạn luôn học tốt!.