Cách tìm m để hàm số có 3 cực trị
Bài toán tổng quát
Cho hàm số \(y=ax^{4}+bx^{2}+c\) (\(a, b, c\) phụ thuộc vào tham số \(m\)).
Tìm m để hàm số có ba cực trị và thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp giải
Bước 1: Đạo hàm \(y’=4ax^{3}+2bx=2x(2ax^{2}+b)=2x.g(x)\)
với \(g(x)=2ax^{2}+b\)
\(y’=0\Leftrightarrow x=0\)
Hoặc \(g(x)=2ax^{2}+b=0 \Leftrightarrow x^{2}=\frac{-b}{2a}\)
Để hàm số \(y=ax^{4}+bx^{2}+c\) có 3 cực trị
\(\Leftrightarrow y’=0\) có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow g(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt và khác 0
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a & \neq& 0\\ \Delta g & (\Delta’g)& >0\\ g(0) & \neq & 0 \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m \epsilon D (*)\)
Nhận xét: Phương trình \(y′=0\) luôn có một nghiệm \(x = 0\) và đồ thị hàm số ban đầu là hàm chẵn, nên các điểm cực trị đối xứng nhau qua \(Oy\).
Giả sử ba điểm cực trị là \(A ∈ Oy\), \(B\) và \(C\) đối xứng nhau qua \(Oy\).
Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình (hoặc bất phương trình) theo tham số. Giải phương trình này ta được giá trị của tham số, đối chiếu với điều kiện (*) và kết luận.
Ví dụ các dạng toán tìm m để hàm số có 3 cực trị
Khi \(ab<0\) thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là:
\(A(0;c),B(\frac{-b}{2a};\frac{-\Delta}{4a}),C(\frac{b}{2a};\frac{-\Delta}{4a})\)
Với \(\Delta=b^{2}-4ac\)
Ví dụ: Cho hàm số \(y = x^{4}–2(m+1)x^{2}+ m^{2}\), với \(m\) là tham số thực. Tìm \(m\) để đồ thị hàm số trên có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông
Cách giải:
Đạo hàm \(y = 4x^{3}-4(m+1)x\)
Công thức tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân
Công thức: \(8a+b^{3}=0\)
Ví dụ: tìm \(m\) để hàm số \(y=x^{4}+(m+2015)x^{2}+5\) có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân.
Cách giải:
Với \(a=1, b=m+2015\)
Ta có \(8a+b^{3}=0 \Rightarrow b^{3}=-8 \Rightarrow m=-2017\)
Công thức tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác đều
Công thức: \(24a+b^{3}=0\)
Ví dụ: Tìm \(m\) để hàm số \(y=\frac{9}{8}x^{4}+3(m-2017)x^{2}\) có 3 cực trị tạo thành tam giac đều.
Cách giải:
Với \(a=\frac{9}{8}, b=3(m-2017)\)
ta có: \(24a+b^{3}=0 \Rightarrow b^{3}=-27 \Rightarrow m=2016\)
Tìm m để hàm số có ba cực trị: Diện tích tam giác ABC
Công thức: \(\sqrt{\frac{-b^{5}}{32a^{3}}}\)
Công thức tìm m để hàm số có ba cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Công thức: \(R=\frac{b^{3}-8a}{8\left | a \right |b}\)
Ví dụ: tìm m để hàm số \(y=mx^{4}+x^{2}+2m-1\) có 3 cực trị tạo thành tam giác nội tiếp trong đường tròn có bán kính \(R=\frac{9}{8}\)
Bài viết trên đây, DINHNGHIA.VN đã cung cấp đến bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết cũng như các dạng bài tập về tìm m để hàm số có 3 cực trị. Chúc bạn luôn học tốt!