Nguyên hàm là gì? Tính chất của nguyên hàm? Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ và mở rộng lớp 12 của hàm số cơ bản? Cách học công thức nguyên hàm từng phần và nâng cao? Thế nào là nguyên hàm căn u?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề nguyên hàm cũng như bảng công thức nguyên hàm, cùng tìm hiểu nhé!
Nguyên hàm là gì?
Hàm số \(F_{(x)}\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f_{(x)}\) trên (a;b) nếu \(F’_{(x)} = f_{(x)}\)
Ví dụ:
- Hàm số \(y = x^{2}\) là nguyên hàm của hàm số \(y = 2x\) trên \(\mathbb{R}\) vì \((x^{2})’ = 2x\)
- Hàm số \(y = \ln x\) là nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{x}\) trên \((0,+\infty )\) vì \((\ln x)’ = \frac{1}{x}\)
Tính chất của nguyên hàm
- \((\int f_{(x)}dx)’ = f_{x}\)
- \(\int a.f_{(x)}dx = a.\int f_{(x)}dx\)
- \(\int \left [ f_{(x)} \pm g_{(x)} \right ]dx = \int f_{(x)}dx \pm \int g_{(x)}dx\)
Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ và mở rộng
| Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp |
Nguyên hàm của các hàm số hợp u = u(x) |
|
| Lũy thừa | \(\int dx = x + C\) | \(\int du = u + C\) |
| \(\int x^{a }dx = \frac{x^{a + 1}}{a + 1} + C\) | \(\int u^{a }dx = \frac{u^{a + 1}}{a + 1} + C\) | |
| Mũ logarit | \(\int {\frac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C} \,\,\left( {x \ne 0} \right)\) | \(\int {\frac{{du}}{u} = \ln \left| u \right| + C} \,\,\left( {x \ne 0} \right)\) |
| \(\int {{e^x}dx = {e^x} + C}\) | \(\int {{e^u}dx = {e^u} + C}\) | |
| \(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)}\) | \(\int {{a^u}du = \frac{{{a^u}}}{{\ln a}} + C\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)}\) | |
| Lượng giác | \(\int {\cos xdx = \sin x + C}\) | \(\int {\cos udu = \sin u + C}\) |
| \(\int {\sin xdx = – \cos x + C}\) | \(\int {\sin udu = – \cos u + C}\) | |
| \(\int {\frac{{dx}}{{\sin x}}} = \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} \right| + C\) | \(\int {\frac{{du}}{{\sin u}}} = \ln \left| {\tan \frac{u}{2}} \right| + C\) | |
| \(\int {\frac{{dx}}{{\cos x}}} = \ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C\) | \(\int {\frac{{du}}{{\cos u}}} = \ln \left| {\tan \left( {\frac{u}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C\) | |
| \(\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \tan x + C}\) | \(\int {\frac{{du}}{{{{\cos }^2}u}} = \tan u + C}\) | |
| \(\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = – \cot x + C}\) | \(\int {\frac{{du}}{{{{\sin }^2}u}} = – \cot u + C}\) | |
| \(\int \cot xdx = \ln \left | sinx \right | + C\) | \(\int \cot udu = \ln \left | sinu \right | + C\) | |
| \(\int \tan xdx = -\ln \left | \cos x \right | + C\) | \(\int \tan udu = -\ln \left | \cos u \right | + C\) | |
| Căn thức | \(\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\) | \(\int \frac{du}{\sqrt{u}} = 2\sqrt{u} + C\) |
| \(\int \sqrt[n]{x}dx = \frac{n}{n+1}\sqrt[n]{x^{n+1}} + C\) | \(\int \sqrt[n]{u}du = \frac{n}{n+1}\sqrt[n]{u^{n+1}} + C\) | |
| \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}\pm a}} = \ln \left | x + \sqrt{x^{2}\pm a} \right | + C\) | \(\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}\pm a}} = \ln \left | u + \sqrt{u^{2}\pm a} \right | + C\) | |
| \(\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}} = \arcsin \frac{x}{a} + C\) | \(\int \frac{du}{\sqrt{a^{2} – u^{2}}} = \arcsin \frac{u}{a} + C\) | |
| \(\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} \pm {a^2}} }}} = \sqrt {{x^2} \pm {a^2}} + C\) | \(\int {\frac{{udu}}{{\sqrt {{u^2} \pm {a^2}} }}} = \sqrt {{u^2} \pm {a^2}} + C\) | |
| \(\int {\sqrt {{x^2} \pm {a^2}} } dx = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + {a^2}} \pm \frac{a}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} \pm {a^2}} } \right| + C\) | \(\int {\sqrt {{u^2} \pm {a^2}} } du = \frac{u}{2}\sqrt {{u^2} + {a^2}} \pm \frac{a}{2}\ln \left| {u + \sqrt {{u^2} \pm {a^2}} } \right| + C\) | |
| Phân thức hữu tỷ | \(\int \frac{dx}{x^{2}} = -\frac{1}{x} + C\) | \(\int \frac{du}{u^{2}} = -\frac{1}{u} + C\) |
| \(\int \frac{dx}{x^{n}} = \frac{-1}{(n – 1)x^{n – 1}} + C\) | \(\int \frac{du}{u^{n}} = \frac{-1}{(n – 1)u^{n – 1}} + C\) | |
| \(\int \frac{dx}{x^{2} – a^{2}} = \frac{1}{2a}\ln \left | \frac{x – a}{x + a} \right | + C\) | \(\int \frac{du}{u^{2} – a^{2}} = \frac{1}{2a}\ln \left | \frac{u – a}{u + a} \right | + C\) | |
| \(\int \frac{dx}{x^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} + C\) | \(\int \frac{du}{u^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan \frac{u}{a} + C\) | |
| \(\int {\frac{{xdx}}{{{x^2} \pm {a^2}}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} \pm {a^2}} \right| + C\) | \(\int {\frac{{udu}}{{{u^2} \pm {a^2}}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {{u^2} \pm {a^2}} \right| + C\) |
Xem thêm >>> Định nghĩa căn thức bậc hai trong số học
Xem thêm >>> Phương pháp đổi biến số trong Nguyên hàm và Tích phân
Xem thêm >>> Chuyên đề các dạng Bài tập Nguyên hàm cơ bản và nâng cao
Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về nguyên hàm và bảng công thức nguyên hàm đầy đủ và mở rộng lớp 12. Nếu có băn khoăn hay thắc mắc cũng như góp ý cho bài viết về chủ đề bảng công thức nguyên hàm đầy đủ và mở rộng, các bạn để lại ý kiến ở phần bình luận bên dưới nha. Nếu thấy hay thì chia sẻ nhé <3. Chúc bạn luôn học tốt!
Pingback: Phương pháp đổi biến số trong Nguyên hàm và Tích phân
Pingback: Bài tập Nguyên hàm chống casio Cơ bản và Nâng cao cùng Cách giải