Nguyên hàm là gì?
Hàm số 𝐹(𝑥) được gọi là nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) trên (a;b) nếu 𝐹′(𝑥)=𝑓(𝑥)
Ví dụ:
- Hàm số \(y = x^{2}\) là nguyên hàm của hàm số 𝑦=2𝑥 trên ℝ vì \((x^{2})’ = 2x\)
- Hàm số 𝑦=ln𝑥 là nguyên hàm của hàm số \((x^{2})’ = 2x\) trên (\((\ln x)’ = \frac{1}{x}\)) vì (\((\ln x)’ = \frac{1}{x}\)
Tính chất của nguyên hàm
- \((\int f_{(x)}dx)’ = f_{x}\)
- \(\int a.f_{(x)}dx = a.\int f_{(x)}dx\)
- \(\int \left [ f_{(x)} \pm g_{(x)} \right ]dx = \int f_{(x)}dx \pm \int g_{(x)}dx\)
Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ và mở rộng
| Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp |
Nguyên hàm của các hàm số hợp u = u(x) |
|
| Lũy thừa | ∫𝑑𝑥=𝑥+𝐶 | ∫𝑑𝑢=𝑢+𝐶 |
| ∫𝑥𝑎𝑑𝑥=𝑥𝑎+1𝑎+1+𝐶 | ∫𝑢𝑎𝑑𝑥=𝑢𝑎+1𝑎+1+𝐶 | |
| Mũ logarit | ∫𝑑𝑥𝑥=ln|𝑥|+𝐶(𝑥≠0) | ∫𝑑𝑢𝑢=ln|𝑢|+𝐶(𝑥≠0) |
| ∫𝑒𝑥𝑑𝑥=𝑒𝑥+𝐶 | ∫𝑒𝑢𝑑𝑥=𝑒𝑢+𝐶 | |
| ∫𝑎𝑥𝑑𝑥=𝑎𝑥ln𝑎+𝐶(0<𝑎≠1) | ∫𝑎𝑢𝑑𝑢=𝑎𝑢ln𝑎+𝐶(0<𝑎≠1) | |
| Lượng giác | ∫cos𝑥𝑑𝑥=sin𝑥+𝐶 | ∫cos𝑢𝑑𝑢=sin𝑢+𝐶 |
| ∫sin𝑥𝑑𝑥=–cos𝑥+𝐶 | ∫sin𝑢𝑑𝑢=–cos𝑢+𝐶 | |
| ∫𝑑𝑥sin𝑥=ln∣∣tan𝑥2∣∣+𝐶 | ∫𝑑𝑢sin𝑢=ln∣∣tan𝑢2∣∣+𝐶 | |
| ∫𝑑𝑥cos𝑥=ln∣∣tan(𝑥2+𝜋4)∣∣+𝐶 | ∫𝑑𝑢cos𝑢=ln∣∣tan(𝑢2+𝜋4)∣∣+𝐶 | |
| ∫𝑑𝑥cos2𝑥=tan𝑥+𝐶 | ∫𝑑𝑢cos2𝑢=tan𝑢+𝐶 | |
| ∫𝑑𝑥sin2𝑥=–cot𝑥+𝐶 | ∫𝑑𝑢sin2𝑢=–cot𝑢+𝐶 | |
| ∫cot𝑥𝑑𝑥=ln|𝑠𝑖𝑛𝑥|+𝐶 | ∫cot𝑢𝑑𝑢=ln|𝑠𝑖𝑛𝑢|+𝐶 | |
| ∫tan𝑥𝑑𝑥=−ln|cos𝑥|+𝐶 | ∫tan𝑢𝑑𝑢=−ln|cos𝑢|+𝐶 | |
| Căn thức | ∫𝑑𝑥𝑥√=2𝑥‾‾√+𝐶 | ∫𝑑𝑢𝑢√=2𝑢√+𝐶 |
| ∫𝑥‾‾√𝑛𝑑𝑥=𝑛𝑛+1𝑥𝑛+1‾‾‾‾√𝑛+𝐶 | ∫𝑢√𝑛𝑑𝑢=𝑛𝑛+1𝑢𝑛+1‾‾‾‾√𝑛+𝐶 | |
| ∫𝑑𝑥𝑥2±𝑎√=ln∣∣𝑥+𝑥2±𝑎‾‾‾‾‾‾√∣∣+𝐶 | ∫𝑑𝑢𝑢2±𝑎√=ln∣∣𝑢+𝑢2±𝑎‾‾‾‾‾‾√∣∣+𝐶 | |
| ∫𝑑𝑥𝑎2–𝑥2√=arcsin𝑥𝑎+𝐶 | ∫𝑑𝑢𝑎2–𝑢2√=arcsin𝑢𝑎+𝐶 | |
| ∫𝑥𝑑𝑥𝑥2±𝑎2√=𝑥2±𝑎2‾‾‾‾‾‾‾√+𝐶 | ∫𝑢𝑑𝑢𝑢2±𝑎2√=𝑢2±𝑎2‾‾‾‾‾‾‾√+𝐶 | |
| ∫𝑥2±𝑎2‾‾‾‾‾‾‾√𝑑𝑥=𝑥2𝑥2+𝑎2‾‾‾‾‾‾‾√±𝑎2ln∣∣𝑥+𝑥2±𝑎2‾‾‾‾‾‾‾√∣∣+𝐶 | ∫𝑢2±𝑎2‾‾‾‾‾‾‾√𝑑𝑢=𝑢2𝑢2+𝑎2‾‾‾‾‾‾‾√±𝑎2ln∣∣𝑢+𝑢2±𝑎2‾‾‾‾‾‾‾√∣∣+𝐶 | |
| Phân thức hữu tỷ | ∫𝑑𝑥𝑥2=−1𝑥+𝐶 | ∫𝑑𝑢𝑢2=−1𝑢+𝐶 |
| ∫𝑑𝑥𝑥𝑛=−1(𝑛–1)𝑥𝑛–1+𝐶 | ∫𝑑𝑢𝑢𝑛=−1(𝑛–1)𝑢𝑛–1+𝐶 | |
| ∫𝑑𝑥𝑥2–𝑎2=12𝑎ln∣∣𝑥–𝑎𝑥+𝑎∣∣+𝐶 | ∫𝑑𝑢𝑢2–𝑎2=12𝑎ln∣∣𝑢–𝑎𝑢+𝑎∣∣+𝐶 | |
| ∫𝑑𝑥𝑥2+𝑎2=1𝑎arctan𝑥𝑎+𝐶 | ∫𝑑𝑢𝑢2+𝑎2=1𝑎arctan𝑢𝑎+𝐶 | |
| ∫𝑥𝑑𝑥𝑥2±𝑎2=12ln∣∣𝑥2±𝑎2∣∣+𝐶 | ∫𝑢𝑑𝑢𝑢2±𝑎2=12ln∣∣𝑢2±𝑎2∣∣+𝐶 |
Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về nguyên hàm và bảng công thức nguyên hàm đầy đủ và mở rộng lớp 12. Nếu có băn khoăn hay thắc mắc cũng như góp ý cho bài viết về chủ đề bảng công thức nguyên hàm đầy đủ và mở rộng, các bạn để lại ý kiến ở phần bình luận bên dưới nha. Nếu thấy hay thì chia sẻ nhé <3. Chúc bạn luôn học tốt!