Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Một số dạng toán và Cách giải

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là phần kiến thức cực kỳ quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Vậy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là gì? Các dạng toán liên quan đến GTLN và GTNN như nào? Hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề GTLN và GTNN qua bài viết dưới đây nhé!

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là gì?

Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập D

• M được gọi là GTLN của f(x) trên D nếu \(\left\{\begin{matrix} f(x)\leq M\\ \exists x_{0}, f(x_{0} = M) \end{matrix}\right.\)
• m được gọi là GTNN của f(x) trên D nếu \(\left\{\begin{matrix} M\leq f(x),\, \forall x \in D\\ \forall x_{0} \in D, f(x_{0}) = m \end{matrix}\right.\)

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên D ta tính y’, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN.

Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó

Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) liên tục trên một đoạn [a;b]

• Tìm các điểm \(x_{i} \in (a;b)\, (i=1,2,…,n)\) mà tại đó \(f'(x_{i}) = 0\) hoặc \(f'(x_{i})\) không xác định.
• Tính \(f'(x), f(b), f(x_{i})\, (i=1,2,…,n)\)
• Khi đó:
  • \(\underset{[a;b]}{max}f(x) = max\left \{ f(a), f(b),f(x_{i}) \right \}\)
  • \(\underset{[a;b]}{min}f(x) = min\left \{ f(a), f(b),f(x_{i}) \right \}\)

Chú ý:

• Nếu hàm số y = f(x) luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm trên [a;b] thì \(\underset{[a;b]}{max} f(x) = max \left \{ f(a), f(b) \right \}\), \(\underset{[a;b]}{min} f(x) = min \left \{ f(a), f(b) \right \}\).
• Nếu hàm số y = f(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn nằm trong D có độ dài bằng T.
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Khi đặt ẩn phụ t = u(x), ta tìm được \(t\in E \, \forall x\in D\), ta có y = g(t) thì GTLN, GTNN của hàm f trên D chính là GTLN, GTNN của hàm g trên E.

Ví dụ và cách giải bài tập giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = -x^3+4x^2-5x+1\) trên đoạn [1;3]

Cách giải:

Ta có \(f'(x) = -3x^2+8x-5\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow -3x^2 + 8x – 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \notin (1;3)\) hoặc \(x = \frac{5}{3} \in (1;3)\)

Ta có:

\(f(1) = -1, f(\frac{5}{3}) = -\frac{23}{27}, f(3) = -5\)

Vậy \(\underset{[1;3]}{max}f(x) = -\frac{23}{27} \, khi \, x=\frac{5}{3}\)

\(\underset{[1;3]}{min}f(x) =-5 \, khi \, x=3\)

Ví dụ 2:  Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x) = \frac{4}{3}\sin ^3x -sin^2x + \frac{2}{3}\) trên đoạn \([0;\pi ]\)

Cách giải:

Ví dụ 3:  Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x) = 2x + \sqrt{5-x^2}\)

Cách giải:

Tập xác định \(D = [-\sqrt{5};\sqrt{5}]\)

Ta có:  \(f'(x) = 2-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}= \frac{2\sqrt{5-x^2}-x}{\sqrt{5-x^2}}\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{5-x^2} – x =0 \Leftrightarrow 2\sqrt{5-x^2} = x\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 4(5-x^2) = x^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 5x^2-20 =0 \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \left[\begin{array}{l} x=2 \\ x=-2 \end{array}\right. \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=2\in (-\sqrt{5};\sqrt{5})\)

Ta có: \(f(-\sqrt{5}) = -2\sqrt{5}; f(2) = 5; f(\sqrt{5}) = 2\sqrt{5}\)

Vậy \(\underset{[-\sqrt{5};\sqrt{5}]}{max} f(x) = 5\, khi\, x=2\)

\(\underset{[-\sqrt{5};\sqrt{5}]}{min} f(x) = -2\sqrt{5}\, khi\, x=-\sqrt{5}\)

Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề GTLN và GTNN của hàm số. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu của bản thân về GT lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây của thầy Nguyễn Quốc Chí:

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm:

• Tính đơn điệu của hàm số là gì? Tính đơn điệu của hàm số bậc 4 và hàm số lượng giác
• Cực trị của hàm số là gì? Cực trị của hàm số bậc 3, bậc 4 và Cực trị của hàm số lượng giác