Bài toán: Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm này.
Trường hợp 1: Biết tọa độ 3 điểm
Lý thuyết lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng biết tọa độ 3 đỉnh
Bước 1: Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng: \((x^2+y^2-2ax-2by+c=0)\) với \(a^2+b^2-c>0\)
- Bước 2: Thay tọa độ của A, B, C vào phương trình đường tròn (C) ta được một hệ phương trình 3 ẩn a, b, c.
- Bước 3: Giải hệ trên ta được a, b và c.
- Bước 4: Thay a, b và c vừa tìm được ở bước 3 vào phương trình đường tròn (C) đã gọi ở trên ta sẽ được phương trình đường tròn (C) cần tìm.
Bài toán viết pt đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B và C có thể phát biểu thành bài toán viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1: Cho 3 điểm không thẳng hàng A(-1;2), B(6;1) và C(-2;5). Lập phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm này.
Giải: Gọi phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có dạng (C): \((x^2+y^2-2ax-2by+c=0)\)
Do A,B,C cùng thuộc đường tròn nên thay tọa độ A,B,C lần lượt vào phương trình đường tròn (C) ta được hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} 2a – 4b + c = -5 & \\ 12a + 2b – c = 37 & \\ 4a – 10b + c = -29 & \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a = 3 & \\ b = 5 & \\ c = 9 & \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\)Phương trình đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C tâm \(I (3 ; 5)\) bán kính r = 5 là: \(x^2 + y^2 – 6x – 10y + 9 = 0\) hoặc \((x – 3)^2 + (y – 5)^2 = 25\)
Trường hợp 2: Biết tọa độ tâm và độ dài bán kính.
Lý thuyết tìm phương trình đường tròn đi qua 3 điểm biết tọa độ tâm và độ dài bán kính
- Bước 1: Gọi tâm đường tròn là điểm \(I(a;b)\). Vì 3 điểm A, B và C thuộc đường tròn nên ta có: \(IA = IB = IC.\)
- Từ đây ta có hệ phương trình sau: \((\left\{\begin{matrix} IA^{2} = IB^{2} & \\ IA^{2} = IC^{2} & \end{matrix}\right.\)
- Bước 2: Giải hệ phương trình trên cũng tìm được tọa độ của tâm I
- Bước 3: Tìm bán kính R = IA = IB = IC
- Bước 4: Thay tọa độ điểm I và bán kính R vào phương trình đường tròn dạng: \((x−a)^2+(y−b)^2=R^2\)
Ví dụ cụ thể:
Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn tâm I đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C biết A(-1;2), B(6;1) và C(-2;5).
Lời giải:
Gọi tâm I của đường tròn (C ) có tọa độ \((x_I,y_I)\)
Ta có \(IA^2 = (-1-x_I)^2+(2-y)^2 = (1+x_I)^2+(2-y_I)^2\)
\(IB^2 = (6-x_I)^2+(1-y_I)^2\)
\(IC^2 = (-2-x_I)^2+(5-y_I)^2 = (2+x_I)^2+(5-y_I)^2\)
Giải hệ gồm 3 phương trình trên ta được \(x_I=3; y_I=5\); \(R^2 = IA^2 = 25\) \(=> R = 5\)
=> Phương trình đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C tâm I(3;5) và bán kính R = 5 là:
\(x^2 + y^2 – 6x – 10y + 9 = 0\) hoặc \((x – 3)^2 + (y – 5)^2 = 25\)
Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức viết pt đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng. Nếu có băn khoăn, thắc mắc hay góp ý xây dựng bài viết các bạn để lại bình luận bên dưới nhé. Cảm ơn các bạn,đừng quên chia sẻ nếu thấy hay nha <3