Phương pháp đổi biến số trong Nguyên hàm và Tích phân

Tính tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số là dạng toán phổ biến nhưng quan trọng trong chương trình toán học THPT. Vậy nguyên hàm là gì? Tích phân là gì? Phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm, tích phân?… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

Định nghĩa nguyên hàm là gì?

Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số \(f\) xác định trên \(K\). Hàm số \(F\) được gọi là nguyên hàm của \(f\) nếu \(F'(x)=f(x)\) với mọi \(x\) thuộc \(K\)

Chú ý : Giả sử hàm số \(F\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\) trên \(K\) thì khi đó hàm số \(y = F(x) + C\) cũng là một nguyên hàm của \(f\) trên \(K\) với mọi hằng số \(C\)

Một số công thức nguyên hàm cơ bản

Dưới đây là một số công thức tính nguyên hàm cơ bản thường được sử dụng:

• \(\int 0dx = C\)
• \(\int dx =x+ C\)
• \(\int x^{k}dx = \frac{x^{k+1}}{k+1} +C\) với \(k \neq 1\)
• \(\int \frac{1}{x} dx =\ln |x| +C\)
• \(\int a^{x} dx = \frac{a^{x}}{\ln a} +C\) với \(0<a \neq 1\)
• Với \(k\) là hằng số khác 0:

\(\int \sin kx \hspace{2mm} dx = \frac{-\cos kx}{k} +C\)

\(\int \cos kx \hspace{2mm} dx = \frac{\sin kx}{k} +C\)

\(\int e^{kx} dx = \frac{e^{kx}}{k} +C\)

• \(\int \frac{1}{\cos^{2}x}dx =\tan x +C\)
• \(\int \frac{1}{\sin^{2}x}dx =-\cot x +C\)

Xem chi tiết >>> Nguyên hàm và bảng công thức nguyên hàm của hàm số cơ bản

Định nghĩa tích phân là gì? 

Tích phân là gì? 

Một số quy tắc tích phân căn bản

Phương pháp tính tích phân

Về lý thuyết có 3 cách tính tích phân cơ bản như sau:

• Tính tích phân bằng phương pháp phân tích.
• Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
• Tính tích phân bằng phương pháp từng phần.

Bảng tích phân của một số hàm số sơ cấp dựa vào đạo hàm 

Phương pháp đổi biến số trong nguyên hàm

Dạng bài thông dụng chính là tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. Cơ sở của phương pháp này trong nguyên hàm là ta sử dụng định lý:

Cho hàm số \(u=u(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(K\) và hàm số \(y=f(u)\)liên tục thỏa mãn \(f[u(x)]\) xác định trên \(K\). Khi đó nếu \(F\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\) thì : \(\int f[u(x)]u'(x)dx= F[u(x)]+C\)

Phương pháp đổi biến số dạng 1

Để tính nguyên hàm hàm số \(f(x)\) ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Đặt ẩn \(t = u(x)\) trong đó  \(u(x)\) là một hàm số thích hợp. Khi đó \(dt = u’(x)dx\)
• Bước 2: Biến đổi \(\int f(x)dx = \int g[u(x)].u'(x)dx =\int g(t)dt =G(t) +C\)
• Bước 3: Thay \(t=u(x)\) , ta được kết quả

Ví dụ:

Tìm  \(\int \frac{x^3}{\sqrt[3]{2x^4+3}}dx\):

Cách giải:

Ta có:  

\(\frac{x^3}{\sqrt[3]{2x^4+3}}dx = \frac{1}{8}.\frac{8x^3}{\sqrt[3]{2x^4+3}}dx=\frac{1}{8}.\frac{(2x^4+3)’}{\sqrt[3]{2x^4+3}}dx =\frac{1}{8}.\frac{d(2x^4+3)}{\sqrt[3]{2x^4+3}}\)

Đặt \(t=2x^4+3\). Khi đó:

\(\int \frac{x^3}{\sqrt[3]{2x^4+3}}dx = \int \frac{1}{8}.\frac{dt}{\sqrt[3]{t}}=\int \frac{t^{-\frac{1}{3}}}{8}dt=\frac{1}{8}.\frac{3}{2}.t^{\frac{2}{3}} +C =\frac{3\sqrt[3]{t^2}}{16} +C\)

Thay \(t=2x^4+3\) vào ta được :

\(\int \frac{x^3}{\sqrt[3]{2x^4+3}}dx = \frac{3\sqrt[3]{(2x^4+3)^2}}{16} +C\)

Phương pháp đổi biến số dạng 2

Để tính nguyên hàm hàm số \(f(x)\) ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Đặt \(x = u(t)\) trong đó  \(u(t)\) là một hàm số thích hợp. Khi đó \(dx=u’(t)dt\)
• Bước 2: Biến đổi \(\int f(x)dx = \int f[u(t)]u'(t)dt=\int g(t)dt=G(t)+C\)
• Bước 3: Biến đổi \(G(t)\) theo \(x\), ta được kết quả

Ví dụ:

Tìm \(\int \frac{dx}{\sqrt{(1+x^2)^3}}\)

Cách giải:

Đặt \(x=\tan t\) với \(t \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\)

Khi đó : \(dx = (\tan t)’dt=\frac{dt}{\cos^2t}\)

Vậy ta có :

 \(\int \frac{dx}{\sqrt{(1+x^2)^3}} = \int \frac{dt}{\sqrt{(1+\tan^2t)^3}.\cos^2t} =\int \cos t \hspace{2mm} dt= \sin t +C\)

Vì \(x=\tan t\) nên:

\(x^2= \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\sin^2 t}{1- \sin^2 t}\)

\(\Rightarrow x^2(1- \sin^2 t) = \sin ^2 t \Rightarrow \sin^2 t(1+x^2)= x^2\)

\(\Rightarrow \sin t = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)

Thay vào ta được : \(\int \frac{dx}{\sqrt{(1+x^2)^3}} =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} +C\)

Phương pháp đổi biến số trong tích phân

Phương pháp đổi biến số quy về tìm nguyên hàm 

Ta áp dụng các cách đổi biến số trong nguyên hàm để tìm nguyên hàm của hàm số. Sau đó tính tính phân theo yêu cầu của đề bài

Ví dụ:

Tìm \(\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \hspace{2mm} dx\)

Cách giải:

Đặt \(x=\sin t\) với \(t \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\)

Khi đó \(dx = (\sin t)’dt= \cos t \hspace{2mm} dt\)

Đổi cận: Với \(x=0 \Rightarrow t=0\) và \(x=1 \Rightarrow t=\frac{\pi}{2}\)

Vậy:

\(\int \sqrt{1-x^2} \hspace{2mm} dx = \int \sqrt{1-\sin^2t}.\cos t \hspace{2mm} dt=\int \cos^2 t \hspace{2mm} dt\)

\(=\int \frac{\cos 2t +1}{2}dt =\frac{\sin 2t}{4} +\frac{t}{2}\)

Do đó:

\(\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \hspace{2mm} dx =\frac{\sin 2t}{4} +\frac{t}{2} \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{4}\) 

Phương pháp đổi biến số đặc biệt 

Trong một số bài toán tính tích phân \(I=\int_{a}^{b}f(x)dx\), ta có thể đặt ẩn phụ: \(t=(a+b)-x\) sau đó lợi dụng tính chẵn lẻ của hàm số \(f(x)\) để tính toán dễ dàng hơn

Ví dụ:

Tính tích phân \(I=\int_{-1}^{1}x^{2018}\sin x \hspace{2mm} dx\)

Cách giải:

Ta có:

\(I=\int_{-1}^{1}x^{2018}\sin x \hspace{2mm} dx =\int_{-1}^{0}x^{2018}\sin x \hspace{2mm} dx + \int_{0}^{1}x^{2018}\sin x \hspace{2mm} dx \hspace{2mm} (*)\)

Đặt \(J=\int_{-1}^{0}x^{2018}\sin x \hspace{2mm} dx\)

Đặt \(t=-x \Rightarrow dx=-dt\)

Đổi cận : \(x=0 \Rightarrow t=0\) và \(x=-1 \Rightarrow t=1\)

Vậy ta có :

\(J=\int_{-1}^{0}x^{2018}\sin x \hspace{2mm} dx = -\int_{0}^{1}(-t)^{2018}.\sin (-t).(-dt)= -\int_{0}^{1}t^{2018}.\sin t \hspace{2mm} dt\)

Thay vảo \((*)\) ta được: \(I=0\)

Xem thêm >>> Chuyên đề các dạng Bài tập Nguyên hàm cơ bản và nâng cao 

Xem thêm >>> Tích phân từng phần: Các dạng bài tập và Cách giải tích phân từng phần

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về nguyên hàm, tích phân cũng như phương pháp đổi biến số trong nguyên hàm và tích phân. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về phương pháp đổi biến số. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)