Lý thuyết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Tổng quát về tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
Đường tròn ngoại tiếp của tam giác là đường tròn đi qua các đi qua tất cả các đỉnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó
Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Cách 1:
- Bước 1: Viết phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.
- Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường trung trực này, đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Cách 2:
- Bước 1: Gọi \(I(x;y) là\) tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có \(IA=IB=IC=R\)
- Bước 2: Tọa độ tâm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{\begin{matrix} IA^2=IB^2\\ IA^2=IC^2 \end{matrix}\right.\)
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại A nằm trên đường cao AH
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Cho tam giác ABC
Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB. S là diện tích tam giác ABC
Ta có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:
\(R=\frac{a.b.c}{4S}\)
Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh.
- Bước 1: Thay tọa độ mỗi đỉnh vào phương trình với ẩn a,b,c (Bởi các đỉnh thuộc đường tròn ngoại tiếp, nên tọa độ các đỉnh thỏa mãn phương trình đường tròn ngoại tiếp cần tìm)Bước 2: Giải hệ phương trình tìm a,b,c
- Bước 2: Thay giá trị a,b,c tìm được vào phương trình tổng quát ban đầu => phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.
- Bước 3: Do A,B,Cϵ(C) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} x_{A}^{2} + y_{A}^{2} – 2ax_{A} – 2by_{A} + c = 0\\ x_{B}^{2} + y_{B}^{2} – 2ax_{B} – 2by_{B} + c = 0\\ x_{C}^{2} + y_{C}^{2} – 2ax_{C} – 2by_{C} + c = 0 \end{matrix}\right.\)
- => Giải hệ phương trình trên ta tìm được a, b, c.
- Thay a, b, c vừa tìm được vào phương trình (C) ta có phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.
Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác
Dạng 1: Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh
VD: Cho tam giác ABC với \(A(1;2),B(−1;0),C(3;2)\). Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Cách giải:
Gọi \(I(x;y)\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
\(\underset{IA}{\rightarrow} = (1-x;2-y) \Rightarrow IA= \sqrt{(1-x)^2+(2-y)^2}\)
\(\underset{IB}{\rightarrow} = (-1-x;-y) \Rightarrow IB= \sqrt{(1-x)^2+y^2}\)
\(\underset{IC}{\rightarrow} = (3-x;2-y) \Rightarrow IC= \sqrt{(3-x)^2+(2-y)^2}\)
Vì \( I\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có:
\(IA=IB=IC \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} IA^2=IB^2\\ IA^2=IC^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (1-x)^2 + (2-y)^2 = (-1-x)^2 +y^2\\ (1-x)^2 + (2-y)^2 = (3-x)^2 + (2-y)^2 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=1\\ x=2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=-1 \end{matrix}\right.\)
Vậy tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(I(2;−1)\)
Dạng 2: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
VD: Tam giác ABC có cạnh AB = 3, AC = 7, BC = 8. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Cách giải:
ta có: \(p=\frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{3 + 7 + 8}{2} = 9\)
Áp dụng công thức Herong:
\(S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = \sqrt{9(9-3)(9-7)(9-8)} = 6\sqrt{3}\)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
\(R=\frac{AB.AC.BC}{4S} = \frac{3.7.8}{4.6\sqrt{3}}\)
Dạng 3: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh
VD: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C biết A(-1;2) B(6;1) C(-2;5)
Cách giải:
Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng:
\((C) x^2 + y^2 -2ax -2by +c =0\)
Do A, B, C cùng thuộc đường tròn nên thay tọa độ A, B, C lần lượt vào phương trình đường tròn (C) ta được hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} 2a-4b+c=-5\\ 12a+2b-c=37\\ 4a-10b+c=-29 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=5\\ c=9 \end{matrix}\right.\)
Do đó, Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tâm I (3;5) bán kính R = 5 là:
\(x^2+y^2-6x-10y+9=0\) hoặc \((x-3)^2+(y-5)^2=25\)
Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình tìm tòi và nghiên cứu của bản thân về kiến thức tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chúc bạn luôn học tốt!