Tính chất chia hết của một tổng là chuyên đề quan trọng trong chương trình toán 6 THCS. Khi nắm vững các dấu hiệu chia hết sẽ giúp bạn vận dụng một cách nhanh và chính xác các phép tính trên số tự nhiên. Vậy định nghĩa về dấu hiệu chia hết là gì? Điều kiện để tổng chia hết cho một số?… Với bài viết dưới đây của DINHNGHIA.VN, chắc chắn bạn sẽ tìm thấy hệ thống kiến thức một cách tổng hợp và chi tiết cũng như các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao về tính chất chia hết của một tổng, cùng tham khảo nhé!. 

Nhắc lại về kiến thức chia hết 

Số tự nhiên a, theo định nghĩa, nếu chia hết cho số tự nhiên b khác 0 khi có số tự nhiên k sao a = b.k.

Tính chất chia hết của một tổng cơ bản 

  • Trong toán học nếu như tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng sẽ chia hết cho số đó.
    • Kí hiệu: \(a \vdots m,b\vdots m,c\vdots m\Rightarrow (a+b+c)\vdots m\)
  • Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.
    • Kí hiệu: \(a \not\vdots m,b\vdots m,c\vdots m\Rightarrow (a+b+c)\not\vdots m\)
  • Nếu như a chia hết cho m thì sẽ tồn tại một số k sao cho tích của k nhân với a chia hết cho m
    • Kí hiệu: \(a \vdots m \Rightarrow (k\ast a)\vdots m\).
  • Nếu như a chia hết cho m và b cũng chia hết cho m thì tích của a và b đều sẽ chia hết cho m
    • Kí hiệu: \(a \vdots m,b\vdots m \Rightarrow (a\ast b)\vdots m\).
  • Nếu như a chia hết cho b thì a mũ n cũng chia hết cho b mũ n.
    • Kí hiệu: \(a \vdots b\Rightarrow a^{n}\vdots b^{n}\).
  • Số 0 sẽ chia hết cho mọi số \(b \ne 0\).
  • Số a sẽ chia hết cho mọi \(a \ne0\).
  • Nếu như một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của hai số đó.
  • Nếu như tích a và b chia hết cho m, trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.
  • Nếu như một tích chia hết cho số nguyên tố p thì sẽ tồn tại một thừa số của tích chia hết cho p. Như vậy suy ra nếu \(a^{n}\vdots p\), p là số nguyên tố thì \(a\vdots p\).

Ví dụ tính chất chia hết của một tổng 

\(3 \vdots 3,6\vdots 3,9\vdots 3\Rightarrow (3+6+9)\vdots 3\Rightarrow 18\vdots 3\).

\(5 \not\vdots 2,4\vdots 2,8\vdots 2\Rightarrow (5+4+8)\not\vdots 2\Rightarrow 17\not\vdots 2\).

Tìm hiểu tính chất chia hết của một tổng nâng cao

lý thuyết tính chất chia hết của một tổng

Một số dấu hiệu chia hết cơ bản và thường gặp 

Dấu hiệu chia hết cho 2

Các số có chữ số tận cùng là: 0, 2, 4, 6, 8 thì sẽ chia hết cho 2.

Ví dụ 1: Xét số \(N=\overline{25*}\) thay dấu * bởi số nào thì chia hết cho 2?

Cách giải:

  • Ta viết : \(\overline{25*} = 250 + *\) 
  • Vì 250 chia hết cho 2 nên * phải là các số sau: 0, 2, 4, 6, 8(tức là số chẵn) thì N chia hết cho 2.
  • Vậy ngược lại, nếu thay dấu * bởi số nào thì không chia hết cho 2? Vì 250 chia hết cho 2 nên * phải là các số sau: 1, 3, 5, 7, 9 (tức là số lẻ) thì N chia không hết cho 2.

Ví dụ 2: Cho tập hợp A ={520, 235, 436, 658}. Số nào chia hết cho 2, số nào không chia hết cho 2?

Cách giải:

  • Các số chia hết cho 2 là: 520, 436, 658.
  • Các số chia không hết cho 2 là: 235.

Dấu hiệu chia hết cho 3

Tổng các chữ số của số đó phải chia hết cho 3 sẽ là dấu hiệu chia hết cho 3.

Ví dụ 1: Xét số 2019 và 2020 có chia hết cho 3 hay không? 

Cách giải:

2019 = (2 + 0 + 1 + 9) + (số chia hết cho 3)

         = 12 + (số chia hết cho 3)

\(\Rightarrow2019\vdots3\)

(Vì tổng của các số hạng chia hết cho 3)

2020 = (2+0+2+0) + (số chia hết cho 3)

         = 4 + (số chia hết cho 3)

\(\Rightarrow2020\not\vdots3\)

(vì tổng của các số hạng không chia hết cho 3).

Nhận xét: 

  • Số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.
  • Số có tổng các chữ số không chia hết cho 3 thì không chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia không hết cho 3.

Chú ý: Các số chia hết cho 9 đều chia hết cho 3.

Dấu hiệu chia hết cho 4

Hai chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 4 sẽ là dấu hiệu chia hết cho 4. 

Ví dụ: Hãy tính các số sau: 536,15438, 116 có chia hết cho 4 không?

Cách giải:

  • \(536\div 4=134\)
  • \(15438\div 4=3859\) (dư 2).
  • \(116\div 4=29\)

Nhận xét: Ta có thể thấy được các số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4 và chỉ những số đó mới chia hết cho 4. Xét theo ví dụ trên 536 có hai chữ số tận cùng là 36. Mà 36 chia hết cho 4, suy ra 536 cũng chia hết cho 4. Ngược lại, 15438 có hai chữ số tận cùng là 38 không chia hết cho 4, suy ra 15438 không chia hết cho 4.

Dấu hiệu chia hết cho 5

Các chữ số có tận cùng là: 0 và 5 sẽ là dấu hiệu chia hết cho 0 và 5. 

Ví dụ 1: Xét số \(P= \overline{68*}\) thay dấu * bởi số nào thì chia hết cho 2?

Cách giải:

  • Ta viết: \(\overline{68*} = 680 +*\)
  • Vì 680 chia hết cho 5 nên * phải là các số sau: 0 và 5 thì P chia hết cho 5
  • Thay dấu * bởi số nào thì không chia hết cho 5? Vì 680 chia hết cho 5 nên * phải là các số sau: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 thì P chia không hết cho 5.

Ví dụ 2: Cho tập hợp D ={250, 535, 273, 624}. Số nào chia hết cho 5 và số nào không chia hết cho 5.

Cách giải:

  • Các số chia hết cho 5 là: 250, 535.
  • Các số không chia hết cho 5 là: 273, 624.

Chú ý: Các số có chữ số tận cùng là 0 đều chia hết cho 2 và 5

Dấu hiệu chia hết cho 6

Ví dụ: Xét các số: 1112, 1062, 2016 có chia hết cho 6 không?

Cách giải:

  • \(1112\div 6=185\) (dư 2).
  • \(1062\div 6=177\)
  • \(2016\div 6=336\)

Nhận xét: Qua ví dụ trên, ta đưa ra kết luận rằng những số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 6 hoặc những số chẵn chia hết cho 3 thì chia hết cho 6 và chỉ những số đó mới chia hết cho 6.

Dấu hiệu chia hết cho 7

Cách nhận biết được một số chia hết cho 7 ta vận dụng như sau: Lấy chữ số đầu tiên nhân với 3 rồi cộng với chữ số tiếp theo, được bao nhiêu thì đem nhân tiếp với 3 và lại cộng chữ số tiếp theo… cứ như vậy đến chữ số cuối cùng thì đem số đó chia với 7. Nếu số đó chia hết cho 7 thì số ban đầu sẽ chia hết cho 7, nếu không chia hết thì số ban đầu không chia hết cho 7.

Ví dụ: Xét các số sau 861, 105, 2019 có chia hết cho 7 không?

Cách giải:

\(861\vdots7\). Ta lấy 8 x 3 = 24 \(\rightarrow\) 24 + 6 = 30 \( \rightarrow\) 30 x 3 = 90 \(\rightarrow\) 90 + 1 = 91. Mà \(91 = (70 + 21) \vdots7\). Vậy 861 chia hết cho 7

\(105 \vdots7\). Ta lấy 1 x 3 = 3 \(\rightarrow\) 3 + 0 = 3 \(\rightarrow\) 3 x 3 = 9 \(\rightarrow9+5=14\vdots7\). Vậy 105 chia hết cho 7.

\(2019 \vdots7\). Ta lấy 2 x 3 = 6 \(\rightarrow\) 6 + 0 = 6 \(\rightarrow\) 6 x 3 = 18 \(\rightarrow\) 18 + 1 = 19 \(\rightarrow\) 19 x 3 = 57 \(\rightarrow57 + 9 = 66\not\vdots7\) 

Dấu hiệu chia hết cho 8

Ba chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 8 sẽ là dấu hiệu chia hết cho 8.

Ví dụ: Hãy tính các số sau: 3936, 2357, 16152 có chia hết cho 8 không?

Cách giải:

  • \(3936\div 8=492\)
  • \(2357\div 8=294\) (dư 5).
  • \(16152\div 8=2019\)

Nhận xét: Qua ví dụ trên ta có thể đưa ra kết luận các chữ số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 8 và chỉ những số đó mới chia hết cho 8. Ví dụ 3936 có ba chữ số tận cùng là 936 chia hết cho 8, suy ra 3936 chia hết cho 8. Ngược lại, 2357 có ba chữ số tận cùng là 357 không chia hết cho 8, suy ra 2357 không chia hết cho 8.

Dấu hiệu chia hết cho 9

Tổng các chữ số của số đó phải chia hết cho 9 sẽ là dấu hiệu chia hết cho 9.

Ví dụ 1: Xét số 378 có chia hết cho 9 không? Số 253 có chia hết cho 9 không?

Cách giải:

378 = (3+7+8) + (số chia hết cho 9)

       = 18 + (số chia hết cho 9)

\(\Rightarrow378\vdots9\)

(Vì cả hai số hạng đều chia hết cho 9)

Tương tự ta có:

253 = (2+5+3) + (số chia hết cho 9)

        = 10 + (số chia hết cho 9)

\(\Rightarrow253\vdots9\)

(Vì có một số hạng chia hết cho 9 và một số hạng không chia hết cho 9)

Ví dụ 2: Trong các số sau số nào chia hết cho 9 và số nào không chia hết cho 9? 

339, 603, 891, 428.

Cách giải:

Các số chia hết cho 9 là: 

603 = (6 + 0 + 3) + (số chia hết cho 9)

       = 9 + (số chia hết cho 9)

\(\Rightarrow603\vdots9\)

891 = (8 + 9 + 1) + (số chia hết cho 9)

       = 18 + (số chia hết cho 9)

\(\Rightarrow891\vdots9\)

Các số không chia hết cho 9 là: 

339 = (3 + 3 + 9) + (số chia hết cho 9)

       = 15 + (số chia hết cho 9)

 \(\Rightarrow339\not\vdots9\)

428 = (4 + 2 + 8) + (số chia hết cho 9)

       = 14 + (số chia hết cho 9)

 \(\Rightarrow428\not\vdots9\)

Nhận xét: 

  • Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì sẽ chia hết cho 9 và cũng chỉ những số đó mới chia hết cho 9.
  • Số có tổng các chữ số không chia hết cho 9 thì sẽ không chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia không hết cho 9.

Dấu hiệu chia hết cho 11

Ta có tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn chia hết cho 11 hoặc là ngược lại.

Ví dụ: Cho các số 2552, 31535 và 902

Cách giải:

\(2552 \rightarrow (2+5)-(5+2)=7-7=0\vdots11\)

\(\Rightarrow2552\vdots11\)

\(31535\rightarrow(3+5+5)-(1+3) = 13-4=9\not\vdots11\)

\(\Rightarrow31535\not\vdots11\)

\(902\rightarrow(9+2)-0 = 11-0=11\vdots11\)

\(\Rightarrow902\vdots11\)

Dấu hiệu chia hết cho 12

Những số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4 thì chia hết cho 12.

Ví dụ: Xét các số 324, 532, 264 có chia hết cho 12 không? 

Cách giải:

\(324\rightarrow 3+2+4=9\vdots3, 324\rightarrow 24\vdots4\)

\(\Rightarrow324\vdots12\)

\(532\rightarrow 5+3+2=10\not\vdots3, 532\rightarrow 32\vdots4\)

\(\Rightarrow532\not\vdots12\)

\(264\rightarrow 2+6+4=12\vdots3, 324\rightarrow 64\vdots4\)

\(\Rightarrow264\vdots12\)

Dấu hiệu chia hết cho 15

Cách để nhận biết một số chia hết cho 15 chính là: Những số nào chia hết cho 3 và 5 thì chia hết cho 15.

Dấu hiệu chia hết cho 18

Cách để nhận biết một số chia hết cho 18 chính là: Những số nào vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 9 thì chia hết cho 18.

Dấu hiệu chia hết cho 25

Cách để nhận biết một số chia hết cho 25 chính là: Hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì số đó chia hết cho 25.

Dấu hiệu chia hết cho 125

Cách để nhận biết một số chia hết cho 125 chính là: Ba chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì số đó chia hết cho 125.

Các dạng toán về dấu hiệu chia hết cho 2 3 5 9

Ví dụ 1: Tìm hai số a,b. Biết: 

  1. \(\overline{6a9b}\), sao cho a – b = 6 và \(\overline{6a9b}\) chia hết cho 9.
  2. \(\overline{aaa} \) , sao cho \(\overline{aaa} \) và vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 9
  3. \(\overline{a36b}\) vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5.
  4. Tổng của hai số là 608 và hiệu của chúng là 124 và xét xem chúng có chia hết cho 2 và 5 không?
  5. \(\overline{a63b}\) chia hết cho cả 2, 3, 5, 9.

Giải: 

  1. Ta có: 

Để một số chia hết cho 9 thì tổng của các số hạng cộng lại phải bằng một số chia hết cho 9.

\(\overline{6a9b}= (6 + a + 9 + b) \vdots9\)

Mà: a – b = 6 \(\Rightarrow\) a = b + 6, thế a vào biểu thức trên ta được

\((6 + b + 6 + 9 + b)\vdots9\)

\(\Rightarrow 21+2b\vdots9 \Rightarrow b=3;a=9\).

    2. Ta có :

Để các số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 9 thì tổng của các số hạng phải chia hết cho 3 và 9.

\(\Rightarrow (a+a+a)\vdots3\)

Ta thấy tổng các số từ \(1,2,3\dots,9\) đều chia hết cho 3, ta tiếp tục xét tiếp điều kiện chia hết cho 9.

\(\Rightarrow (a+a+a)\vdots9\)

Ta thấy tổng của các số 3 + 3 + 3 = 9 và 6 + 6 + 6 = 18 và 9 + 9 + 9 = 27 đều chia hết cho 9.

Vậy a ={3,6,9}

   3. Ta có: 

Để có thể chia hết cho 2 thì chữ số tận cùng phải là 0,2,4,6,8

Để có thể chia hết cho 5 thì chữ số tận cùng phải là 0 hoặc 5.

\(\Rightarrow \) Để số có thể vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 thì tận cùng phải là 0.

\(\Rightarrow b = 0 ; a ={1,2,3,\dots,9}\)

   4. Ta có: 

a – b = 124

\(\Rightarrow \) a = b + 124 (1)

Mà a + b = 608. Thế (1) vào ta được

b + 124 + b = 608 \(\Rightarrow \) 2b = 484.

\(\Rightarrow b = 242\). Thế b vào (1) ta được: 

a = 242 + 124 = 366

Vậy a = 366, b = 242. a và b đều chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5.

    5. Ta có: 

\( \overline{a63b} \) chia hết cho 2 và 5 \( \Rightarrow \overline{a630} \Rightarrow b = 0\)

Vì \(\overline{a630}\) chia hết cho 9 nên tổng các số hạng phải chia hết cho 9 

\(\Rightarrow \) a + 6 + 3 + 0 = a + (số chia hết cho 9)

\(\Rightarrow a = 0 hoặc a = 9 \)

a = 0 (loại, vì a là chữ số hàng ngàn).

a = 9 thõa mãn điều kiện chia hết cho 9 và số chia hết cho 9 cũng chia hết cho 3 

\(\Rightarrow a = 9 \)

Vậy a = 9 và b = 0.

Ví dụ 2: 

  1. Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2, bao nhiêu số chia hết cho 5?
  2. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 3? 
  3. Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000, có bao nhiêu số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5?

Cách giải

  1. Các số chia hết cho 2 từ 1 đến 100 là: \(2;4;6;8;\dots;100 \)

\(\Rightarrow \) Số các số chia hết cho 2 từ 1 đến 100 là:

\((100-2)\div2+1=50 \) (số) 

Các số chia hết cho 5 từ 1 đến 100 là \(5;10;15;\dots;100 \)

\(\Rightarrow \) Số các số chia hết cho 5 từ 1 đến 100 là: 

\((100-5)\div5+1=20 \) (số).

2. Các số tự nhiên chia hết cho 3 và có 3 chữ số là \(102;105;108;\dots;999 \)

Vậy có: \(\frac{999-102}{3}+1 = 299+1=300 \) số tự nhiên chia hết cho 3 và có 3 chữ số.

3. Các số tự nhiên chia hết cho 2 là: \(0;2;4;6;8;\dots;998;1000 \)

Các số tự nhiên chẵn chia hết cho 5 là: \(0;10;20;\dots;990;1000 \)

Vậy có \(\left ( \frac{(1000-0)}{2}+1 \right ) – \left ( \frac{(1000-0)}{10}+1 \right )= 501-101=400\) số tự nhiên chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5 và nhỏ hơn 1000.

Bài tập cơ bản về tính chất chia hết của một tổng

Bài tập cơ bản về tính chất chia hết của một tổng: 

  1. Nếu a chia hết cho 3 và b chia hết cho 6 thì a + b chia hết cho mấy?
  2. Xét tổng giữa hai số 340 và 230 có chia hết cho 2 không? 
  3. Xét tổng giữa hai số 369 và 350 có chia hết cho 3 và 5 không?
  4. Tìm số trừ và các số chia hết cho biểu thức. Biết Số bị trừ là 720 và hiệu là 240.
  5. Cho biểu thức x – 99 = 312. Tìm số trừ và xét xem biểu thức có chia hết cho 3 và 9 không? 
  6. Cho tập A = {425,693,660,256,380}. Tìm số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5.

Cách giải: 

  1. Nếu a chia hết cho 3 và b chia hết cho 6 thì a + b chia hết cho 3.
  2. 340 + 230= 570. \(340 \vdots 2 , 230 \vdots 2 \Rightarrow (340+230) \vdots 2 \)
  3. Ta có: 

\(369\vdots3- 350\vdots3 \Rightarrow(369+350)\vdots3\)

\(369\not\vdots5- 350\vdots5 \Rightarrow(369+350)\not\vdots5\)

    4. Gọi số trừ là x. Ta có: 

720 – x = 240 \(\Rightarrow\) x =720 – 240 = 480.

Vậy số trừ là 480.

Các số chia hết cho biểu thức trên là 2, 4.

Thử lại kết quả: 

\(720\vdots2- 480\vdots2 \Rightarrow(720-480)\vdots2\)

\(720\vdots4- 480\vdots4 \Rightarrow(720-480)\vdots4\)

    5. Ta có: x = 312 + 99 = 411

\(411\vdots3- 99\vdots3 \Rightarrow(411-99)\vdots3\)

\(411\not\vdots9- 99\vdots9 \Rightarrow(411-99)\not\vdots9\)

    6. \(425\not\vdots3, 425\vdots5\)

\(693\vdots3, 693\not\vdots5\)

\(660\vdots3, 660\vdots5\)

\(256\not\vdots3, 256\not\vdots5\)

\(380\not\vdots3, 380\vdots5\)

Vậy số chia hết cho 3 và 5 là 660.

Bài tập nâng cao về tính chất chia hết của một tổng

Từ dấu hiệu chia hết nâng cao, bạn cần nắm được các bài toán nâng cao về tính chất chia hết của một tổng dưới đây. 

Dạng 1: Các bài toán chứng minh số a chia hết số b

Ví dụ: Chứng minh rằng

  1. \(A = 1+3+3^{2}+\dots+3^{11}\) chia hết cho 4.
  2. \(B=16^{5}+2^{15}\) chia hết cho 33
  3. \(C=10^{28}+8\) chia hết cho 72
  4. \(D=2+2^{2}+2^{3}+\dots+2^{60}\) chia hết cho 3, 7, 15
  5. \(E=1+3+3^{2}+3^{3}+\dots+3^{1991}\) chia hết cho 41
  6. \(F=10^{n}+18n-1\) chia hết cho 27

Cách giải:  

  1. \(A = 1+3+3^{2}+\dots+3^{11}\) chia hết cho 4

\(A=(1+3)+3^{2}.(1+3)+\dots+3^{10}(1+3)\)

\(A=4+4\ast3^{2}+\dots+4\ast3^{10}\)

\(A=4(1+3^2+\dots+3^{10})\vdots4\) (đpcm).

    2. \(B=16^{5}+2^{15}\) chia hết cho 33

\(B=(2^4)^5+2^{15}\)

\(B=2^{20}+2^{15}\)

\(B=2^{15}(1+2^{5})\)

\(B=(2^{15}\ast33)\vdots33\)

    3. \(C=10^{28}+8\) chia hết cho 72

Ta thấy \(72 = 8\ast9\)

Ta có: 

\(10^{28}+8\vdots9\) vì tổng các chữ số bằng 9.

\(10^{28}+8\vdots8\) vì có tận cùng là 008

Mà (8;9) = 1 nên \(10^{28}+8\vdots8\ast9=72\) (đpcm)

     4. \(D=2+2^{2}+2^{3}+\dots+2^{60}\) chia hết cho 3, 7, 15

Ta có: 

\(D=2.(1+2)+2^3(1+2)+\dots+2^{59}(1+2)\)

\(D=2.3+2^3.3+\dots+2^{59}.3\)

\(D=3.(2+2^3+\dots+2^{59})\vdots3\)

Ta có:

\(D=2.(1+2+2^2)+2^4(1+2+2^2)+\dots+2^{58}(1+2+2^2)\)

\(D=2.7+2^4.7+\dots+2^{58}.7\)

\(D=7.(2+2^4+\dots+2^{58})\vdots7\)

Ta có: 

\(D=2.(1+2+2^2+2^3)+2^5(1+2+2^2+2^3)+\dots+2^{57}(1+2+2^2+2^3)\)

\(D=2.15+2^5.15+\dots+2^{57}.15\)

\(D=15.(2+2^5+\dots+2^{57})\vdots15\)

Vậy D chia hết cho 3, 7, 15.

    5. \(E=1+3+3^{2}+3^{3}+\dots+3^{1991}\) chia hết cho 41

Ta có:

\(E=(1+3^2+3^4+3^6)+(3+3^3+3^5+3^7)+\dots+(3^{1984}+3^{1986}+3^{1988}+3^{1990})+(3^{1985}+3^{1987}+3^{1989}+3^{1991})\)

\(E=(1+3^2+3^4+3^6)+3(1+3^2+3^4+3^6)+\dots+3^{1984}(1+3^2+3^4+3^6)+3^{1985}(1+3^2+3^4+3^6)\)

\(E=820(1+3+\dots+3^{1984}+3^{1985})\)

\(E=41.20(1+3+\dots+3^{1984}+3^{1985})\vdots41\) (đpcm)

     6. \(F=10^{n}+18n-1\) chia hết cho 27

Ta có: 

\(F=10^n+18n-1=(10^n-1)+18n\)

\(F=99\dots9+18n\) (số 99…9 có n chữ số 9)

\(F=9(11\dots1+2n)\) (số 11…1 có n chữ số 1)

\(F=9.G\)

Xét biểu thức trong ngoặc 

\(G=11\dots1+2n=11\dots1- n + 3n\) (số 11…1 có n chữ số 1).

Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11…1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là \( 1 + 1 + \dots + 1\) = n (vì có n chữ số 1)

\(\Rightarrow1+1+\dots+1\) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3

\(\Rightarrow1+1+\dots+1-n\) chia hết cho 3

\(\Rightarrow\) G chia hết cho 3 

\(\Rightarrow\) 9.G chia hết cho 27 hay \(F=10^{n}+18n-1\) chia hết cho 27 (đpcm)

Dạng 2: Tìm số tự nhiên thỏa điều kiện cho trước

Ví dụ: 

  1. Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 và \(\overline{87ab}\) chia hết cho 9.
  2. Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9. Biết rằng, tổng của chúng bằng \( \overline{*657} \) và hiệu của chung bằng \(\overline{5*91}\)
  3. Tìm chữ số a, biết rằng \(\overline{20a20a20a}\) chia hết cho 7.
  4. Cho n = \(\overline{7a5}+\overline{8b4}\). Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b.

Cách giải:  

  1. Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 và \(\overline{87ab}\) chia hết cho 9.

\(a-b=4\Rightarrow a=b+4\) mà \(\overline{87ab}\) chia hết cho 9 \(\Rightarrow 15+a+b\) chia hết cho 9 \( \Rightarrow  19 + 2b \) chia hết cho 9\(\Rightarrow b=4;a=8\).

    2. Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9. Biết rằng, tổng của chúng bằng \( \overline{*657} \) và hiệu của chung bằng \(\overline{5*91}\)

Vì hai số chia hết cho 9 nên tổng của hai số là: \( \overline{*657} \vdots 9 \Leftrightarrow *=9\) và hiệu của chúng bằng \(\overline{5*91} \vdots 9\Leftrightarrow *=3\)

Vậy tổng của hai số là 9657 và hiệu của hai số là 5391.

\(\Rightarrow\) Hai số cần tìm là 7524 và 2133

   3. Tìm chữ số a, biết rằng \(\overline{20a20a20a}\) chia hết cho 7.

Ta có: 

\(\overline{20a20a20a}=\overline{20a20a}\ast1000+\overline{20a}\)

\(\Leftrightarrow(\overline{20a}\ast1000+\overline{20a})\ast1000+\overline{20a}\)

\(\Leftrightarrow7\ast143\ast\overline{20a}\ast1000+\overline{20a}\vdots7\)

Mà \( \Leftrightarrow 7 \ast 143 \ast \overline{20a}\ast1000\vdots7\) \(\Rightarrow \overline{20a}\vdots7\)

\(\overline{20a}=200+a=196+4+a=196+(4+a)\vdots7\)

Mà \(196\vdots7\Rightarrow 4+a\vdots7\Rightarrow a=3\)

    4. Cho n = \(\overline{7a5}+\overline{8b4}\). Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b.

n chia hết cho 9

\(\Rightarrow \overline{7a5}+\overline{8b4}\) chia hết cho 9

\(\Rightarrow 7+a+5+8+b+4\) chia hết cho 9

\(\Rightarrow 24+a+b\) chia hết cho 9

Mà \(a,b \leq9\Rightarrow a+b\leq18\)

\(\Rightarrow a+b=3\) hoặc \(a+b=12\)

  • a + b = 3

\(\Rightarrow (3+6)\div2=9/2\) (9/2 không thuộc N loại)

  • a + b = 12

\(\Rightarrow (12+6)\div2=9; b=9-6=3\) (chọn)

Vậy a = 9 và b = 3

Như vậy qua bài viết trên của DINHNGHIA.VN, bạn đã tìm thấy những kiến thức liên quan đến chủ đề tính chất chia hết của một tổng. Nếu có bất cứ câu hỏi hay thắc mắc gì liên quan đến chuyên đề tính chất chia hết của một tổng, đừng quên để lại ở nhận xét bên dưới để cùng chúng tôi trao đổi thêm nhé!. Chúc bạn luôn học tốt!.

Xem chi tiết lý thuyết và bài tập về tính chất chia hết của một tổng qua bài giảng dưới đây:


(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm:

Please follow and like us:
error
Tagged:

Comments

  1. Pingback: Làm quen với số nguyên âm: Lý thuyết và Các dạng toán thường gặp

  2. Pingback: Quy tắc dấu ngoặc: Tổng hợp Lý thuyết và Các dạng Bài tập

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *