Trọng tâm của tứ diện là một điểm quan trọng cần chú ý trong các bài toán liên quan đến tứ diện. Vậy trọng tâm tứ diện là gì? Cách xác định trọng tâm của tứ diện? Các tính chất của trọng tâm?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

Tìm hiểu trọng tâm của tứ diện là gì?

Định nghĩa trọng tâm tứ diện 

Cho tứ diện \( ABCD \). Khi đó \( G \) là trọng tâm tứ diện \( ABCD \) khi và chỉ khi :

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=0\)

Mỗi tứ diện chỉ có duy nhất \( 1 \) trọng tâm.

Cách chứng minh trọng tâm tứ diện 

Giả sử ngoài trọng tâm \( G \) còn tồn tại một điểm \( G’ \) cũng thỏa mãn tính chất :

\(\overrightarrow{G’A}+\overrightarrow{G’B}+\overrightarrow{G’C}+\overrightarrow{G’D}=0\)

Khi đó ta có:

\(0=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\)

\(=(\overrightarrow{GG’}+\overrightarrow{G’A})+(\overrightarrow{GG’}+\overrightarrow{G’B})+(\overrightarrow{GG’}+\overrightarrow{G’C})+(\overrightarrow{GG’}+\overrightarrow{G’D})\)

\(=4\overrightarrow{GG’}+(\overrightarrow{G’A}+\overrightarrow{G’B}+\overrightarrow{G’C}+\overrightarrow{G’D})\)

\(=4\overrightarrow{GG’}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{GG’} =0\)

\(\Rightarrow G \equiv G’\) hay tồn tại duy nhất điểm \( G \) thỏa mãn :

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=0\)

Cách vẽ trọng tâm của tứ diện ABCD

Ta có \( 2 \) cách vẽ trọng tâm tứ diện :

  • Cách 1: Cho tứ diện \( ABCD \). Khi đó \( 3 \) đường thẳng nối trung điểm \( 3 \) cặp cạnh chéo nhau đồng quy tại trung điểm của mỗi đường. Điểm đó chính là trọng tâm tứ diện \( ABCD \)

Chứng minh:

lý thuyết trọng tâm của tứ diện

Gọi \( M,N,P,Q \) lần lượt là trung điểm \( AB,BC,CD,DA \)

Khi đó ta có : \( MQ , NP \) lần lượt là đường trung bình của \( \Delta ABD \) và \( \Delta CBD \)

\(\Rightarrow MQ // NP\) ( cùng \( // BD \) )

\(\Rightarrow MQ=NP=\frac{BD}{2} \)

\(\Rightarrow MNPQ\)là hình bình hành

\(\Rightarrow MP \cap NQ\) tại trung điểm mỗi đường

Tương tự cho cặp cạnh chéo nhau còn lại.

Vậy ta có điều phải chứng minh (đpcm).

  • Cách 2: Cho tứ diện \( ABCD \) có \( G \) là trọng tâm của \( \Delta BCD \). Trên đoạn thẳng \( AG \) lấy điểm \( K \) sao cho \( KA=3KG \). Khi đó điểm \( K \) chính là trọng tâm tứ diện \( ABCD \)

Chứng minh:

cách chứng minh trọng tâm của tứ diện

Ta có:

Vì \( G \) là trọng tâm \( \Delta BCD \Rightarrow \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=0\)

\(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{KA}+(\overrightarrow{KG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{KG}+\overrightarrow{GC})+(\overrightarrow{KG}+\overrightarrow{GD})\)

\(=\overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KG}+ (\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})\)

\(=\overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KG}\)

Mặt khác, vì \(KA=3KG \Rightarrow \overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KG}=0\)

\( \Rightarrow  \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}=0 \)

Vậy \( K \) là trọng tâm tứ diện \( ABCD \)

***Chú ý: Trong một số trường hợp tứ diện có tính chất đặc biệt thì ta sẽ có một số cách xác định riêng. Ví dụ xác định tâm của tứ diện đều bằng cách xác định giao của \( 4 \) đường cao hạ từ mỗi đỉnh xuống tam giác đáy đối diện của tứ diện.

Một số tính chất trọng tâm tứ diện

Cho tứ diện \( ABCD \) có \( G \) là trọng tâm tứ diện. Khi đó ta có các tính chất sau:

  • \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=0\)
  • \( G \) là trung điểm của đường nối \( 2 \) trung điểm \( 2 \) cạnh đối nhau bất kì trong tứ diện.
  • \( G \) nằm trên đường nối một đỉnh của tứ diện với trọng tâm của tam giác đáy tương ứng sao cho khoảng cách từ \( G \) đến đỉnh bằng \( 3 \) lần khoảng cánh từ \( G \) đến trọng tâm tam giác đáy.

Bài tập liên quan đến trọng tâm tứ diện

Chứng minh 2 tứ diện có cùng trọng tâm

Cho tứ diện \( ABCD \) và tứ diện \( A’B’C’D’ \). Gọi \( G \) là trọng tâm tứ diện \( ABCD \). Khi đó \( G \) cũng là trọng tâm tứ diện \( A’B’C’D’ \) khi và chỉ khi :

\(\overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}+\overrightarrow{DD’}=0\)

Chứng minh:

Ta có:

\(\overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}+\overrightarrow{DD’}=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA’})+(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GB’})+(\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC’})+(\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GD’})\)

\(=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{DG})+(\overrightarrow{GA’}+\overrightarrow{GB’}+\overrightarrow{GC’}+\overrightarrow{GD’})\)

\(=\overrightarrow{GA’}+\overrightarrow{GB’}+\overrightarrow{GC’}+\overrightarrow{GD’}\)

Vậy: \(\overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}+\overrightarrow{DD’}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{GA’}+\overrightarrow{GB’}+\overrightarrow{GC’}+\overrightarrow{GD’}=0\)

Ta có đpcm.

Ví dụ:

Cho tứ diện \( ABCD \). Gọi \( M,N,P,Q \) là trọng tâm của \( 4 \) mặt tứ diện. Chứng minh rằng hai tứ diện \( ABCD \) và \( MNPQ \) có cùng trọng tâm

Cách giải:

các dạng bài tập trọng tâm của tứ diện

Ta có:

\(\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}\)

\(=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{3}\) ( do \(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=0\) )

Tương tự ta có:

\(\overrightarrow{BN}=\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}}{3}\)

\(\overrightarrow{CP}=\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}}{3}\)

\(\overrightarrow{DQ}=\frac{\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}}{3}\)

Cộng hai vế của \( 4 \) đẳng thức trên ta được:

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{DQ}=0\)

Theo tính chất trên \(\Rightarrow ABCD\) và \( MNPQ \) có cùng trọng tâm

Bài toán trọng tâm của các tứ diện đặc biệt

  • Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà \( 3 \) cạnh xuất phát từ đỉnh đó đôi một vuông góc với nhau.

các bài toán trọng tâm của các tứ diện đặc biệt

  • Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau.
  • Tứ diện gần đều là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau.
  • Tứ diện trực tâm là tứ diện có các cặp cạnh đối đôi một vuông góc với nhau.

Ví dụ:

Cho \( G \) là trọng tâm của tứ diện vuông \( OABC \) ( vuông tại \( O \) ). Biết rằng \( OA=OB=OC=a \). Tính độ dài \( OG \)

Cách giải:

cách giải trọng tâm của tứ diện

Vì \( OA=OB=OC =a \) và \(\widehat{AOC}=\widehat{COB}=\widehat{BOA}=90^{\circ}\)

Nên theo định lý Pitago ta có :

\(AB=BC=CA=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow \Delta ABC\) đều.

Gọi \( H \) là tâm \(\Rightarrow \Delta ABC\)

Theo tính chất trọng tâm \(\Rightarrow G \in OH\) và \(\Rightarrow OG=\frac{3}{4}OH\)

Do \( \Delta ABC \) đều có độ dài cạnh bằng \( a\sqrt{2}\) nên \(\Rightarrow\) độ dài đường cao của \( \Delta ABC \) là : \(a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)

\(\Rightarrow BH =\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Theo tính chất tứ diện vuông thì \( OH \bot ( ABC) \)

\(\Rightarrow OH =\sqrt{OB^2-BH^2}=\frac{a}{\sqrt{3}}\)

\( \Rightarrow OG = \frac{3}{4} OH =\frac{a\sqrt{3}}{4} \)

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và một số dạng bài tập về trọng tâm của tứ diện. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chủ đề trọng tâm của tứ diện. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm >>> Thể tích tứ diện đều: Khái niệm, Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều

Xem thêm >>> Viết phương trình tham số của đường thẳng, đường tròn, mặt phẳng

Please follow and like us:
 
Tagged:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *