Chuyên đề các dạng Bài tập Nguyên hàm cơ bản và nâng cao

Nguyên hàm là dạng toán quan trọng trong chương trình toán học THPT. Vậy nguyên hàm là gì? Cách giải các dạng bài tập nguyên hàm cơ bản và nâng cao? Phương pháp làm bài tập nguyên hàm chống Casio?… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chuyên đề này!.

Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số \(f\) xác định trên \(K\). Hàm số \(F\) được gọi là nguyên hàm của \(f\) nếu \(F'(x)=f(x)\) với mọi \(x\) thuộc \(K\)

***Chú ý: Giả sử hàm số \(F\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\) trên \(K\) thì khi đó hàm số \(y = F(x) + C\) cũng là một nguyên hàm của \(f\) trên \(K\) với mọi hằng số \(C\)

Xem chi tiết >>> Nguyên hàm là gì và Bảng công thức Nguyên hàm của hàm số cơ bản 

Công thức nguyên hàm cơ bản

Dưới đây là một số công thức tính nguyên hàm cơ bản thường được sử dụng:

1, \(\int 0dx = C\)

2, \(\int dx =x+ C\)

3, \(\int x^{k}dx = \frac{x^{k+1}}{k+1} +C\) với \(k \neq 1\)

4, \(\int \frac{1}{x} dx =\ln |x| +C\)

5, \(\int a^{x} dx = \frac{a^{x}}{\ln a} +C\) với \(0<a \neq 1\)

6, Với \(k\) là hằng số khác 0:

a, \(\int \sin kx \hspace{2mm} dx = \frac{-\cos kx}{k} +C\)

b, \(\int \cos kx \hspace{2mm} dx = \frac{\sin kx}{k} +C\)

c, \(\int e^{kx} dx = \frac{e^{kx}}{k} +C\)

7,

a, \(\int \frac{1}{\cos^{2}x}dx =\tan x +C\)

b, \(\int \frac{1}{\sin^{2}x}dx =-\cot x +C\)

Các dạng bài tập nguyên hàm cơ bản và cách giải 

Bài tập nguyên hàm từng phần có lời giải

Định lý về nguyên hàm từng phần

Ta sử dụng công thức nguyên hàm từng phần sau đây:

Nếu \( u,v \) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên \( K \) thì

\(\int u(x)v'(x)dx= u(x)v(x)dx-\int u'(x)v(x)dx\)

Hay được viết gọn là:

\(\int u d v=uv-\int vdu\)

Ý tưởng của phương pháp là từ tích phân khó \(\int u(x)v'(x)dx \) ta quy về tính tích phân \( \int u'(x)v(x)dx\) dễ hơn. Sau đây là một bài tập nguyên hàm từng phần có giải giúp các bạn nắm rõ hơn cách sử dụng phương pháp này

Ví dụ:

Tìm nguyên hàm \(F=\int \frac{dx}{\sqrt{2x-1}+4}\)

Cách giải:

Ta có

\(\int \frac{dx}{\sqrt{2x-1}+4}=\int \frac{\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-1}(\sqrt{2x-1}+4)}dx\)

\(=\int \frac{dx}{\sqrt{2x-1}}.\frac{\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-1}+4}\)

Đặt \(\sqrt{2x-1}=t \Rightarrow dt =\frac{dx}{\sqrt{2x-1}}\)

\(\Rightarrow F=\int \frac{t}{t+4}dt\)

Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có

\(\Rightarrow F=\int \frac{t}{t+4}dt=\int t.\ln'(t+4)dt=t.\ln(t+4)-\int ln(t+4)dt\)

Vì \(\int \ln x \;dx=x\ln x-x\) nên

\(\Rightarrow F=t.\ln(t+4)-(t+4).ln(t+4)+(t+4)+C\)

\(=-4.\ln(t+4)+t+C\)

Thay \(\sqrt{2x-1}=t \) vào ta được

\(F=\sqrt{2x-1}-4\ln(\sqrt{2x-1}+4)+C\)

Một số dạng toán nguyên hàm từng phần 

Bài tập nguyên hàm lượng giác có lời giải

Dạng bài này chúng ta sử dụng các biến đổi lượng giác và các công thức nguyên hàm lượng giác để tính toán.

Các đẳng thức lượng giác thường gặp

\(\sin^2x+\cos^2x=1\)

\(\sin 2x =2\sin x \cos x\)

\(\cos 2x =2\cos^2 x-1\)

\(\tan 2x =\frac{2\tan x}{1- \tan^2 x}\)

Các đạo hàm hàm lượng giác

\(\sin’x = \cos x\)

\(\cos ‘x =-\sin x\)

\(\tan’x =\frac{1}{\cos^2x}\)

\(\cot’x =\frac{-1}{\sin^2x}\)

Các nguyên hàm hàm lượng giác

Các dạng bài tập nguyên hàm lượng giác

Ví dụ:

Tính nguyên hàm \(I=\int \frac{dx}{3\cos x + 4\sin x+3}\)

Cách giải

Đặt \(t=\tan \frac{x}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} dx=\frac{2dt}{t^2+1}\\ \sin x=\frac{2t}{t^2+1} \\ \cos x =\frac{1-t^2}{1+t^2} \end{matrix}\right.\)

Thay vào ta được

\(I=\int \frac{\frac{2dt}{t^2+1}}{3\frac{1-t^2}{t^2+1}+4\frac{2t}{t^2+1}+3}=\int \frac{2dt}{3-3t^2+8t+3t^2+3}\)

\(=\int \frac{2dt}{8t+6}=\frac{1}{4}\int \frac{d(8t+6)}{8t+6}=\frac{1}{4}.|\ln(8t+6)|+C\)

Thay \(t=\tan \frac{x}{2} \) vào ta được

\(I=\frac{\ln (8\tan\frac{x}{2}+6)}{4}+C\)

Bài tập nguyên hàm đổi biến số

Phương pháp đổi biến số rất hay được áp dụng trong các bài toán nguyên hàm, tích phân. 

Xem chi tiết >>> Phương pháp đổi biến số trong Nguyên Hàm và Tích Phân

Một số bài tập nguyên hàm chống Casio

Đây là các dạng bài tập nguyên hàm nâng cao thường xuất hiện trong các đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia nhằm hạn chế việc sử dụng máy tính bỏ túi để đề cao tính tư duy của học sinh. Sau đây là một số dạng bài tập nguyên hàm có lời giải chống Casio

Dạng 1: Đồng nhất hệ số với mẫu có dạng tích

Bài toán: Ta cần tìm nguyên hàm \(\int \frac{A(x)}{f_1(x).f_2(x)…f_n(x)}dx\) với \( f_i(x) , A(x) \) là các đa thức.

Ý tưởng ta sẽ phân tích

\(\frac{A(x)}{f_1(x).f_2(x)…f_n(x)}=\frac{a_1}{f_1(x)}+\frac{a_2}{f_2(x)}+…+\frac{a_n}{f_n(x)}\)

Rồi từ đó tìm nguyên hàm của từng phân thức \(\frac{a_i}{f_i(x)}\)

Ví dụ:

Giả sử nguyên hàm \(I=\int \frac{3x^2+3x+5}{x^3-3x+2}dx=\frac{a}{x-1}+b\ln |x-1|+c\ln |x+2|+C\)

Tính \( a+b+c \)

Cách giải:

Ta có:

\(x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)\)

\(\Rightarrow \frac{3x^2+3x+5}{x^3-3x+2}\) sẽ phân tích được dưới dạng \(\frac{m}{(x-1)^2}+\frac{n}{x-1}+\frac{p}{x+2}\)

Ta có:

\(\frac{m}{(x-1)^2}+\frac{n}{x-1}+\frac{p}{x+2}=\frac{m(x+2)+n(x^2+x-2)+p(x^2-2x+1)}{(x-1)^2(x-2)}\)

\(=\frac{(n+p)x^2+(m+n-2p)x+(2m-2n+p)}{(x-1)^2(x-2)}\)

Đồng nhất hệ số ta có:

\(\left\{\begin{matrix} n+p=3\\ m+n-2p=3 \\ 2m-2n+p=5 \end{matrix}\right.\)

Giải phương trình ta được \(\left\{\begin{matrix} m=\frac{11}{3}\\ n=\frac{16}9{} \\ p=\frac{11}{9} \end{matrix}\right.\)

Vậy ta được:

\(I=\int (\frac{11}{3(x-1)^2}+\frac{16}{9(x-1)}+\frac{11}{9(x+2)})dx\)

\(=-\frac{11}{3}.\frac{1}{x-1}+\frac{16}{9}\ln|x-1|+\frac{11}{9}\ln |x+2|\)

Vậy \(a=\frac{-11}{3};b=\frac{16}{9};c=\frac{11}{9}\)

\(\Rightarrow a+b+c=-\frac{2}{3}\)

Dạng 2 : Nhảy tầng lầu

Đây là phương pháp áp dụng với những hàm số có bậc của tử số nhỏ hơn rất nhiều so với bậc của mẫu số nhằm mục đích tăng bậc của tử số cho gần với bậc của mẫu số hơn để tính toán dễ dàng hơn. Tổng quát

\( \int \frac{dx}{x^n+a}=\frac{1}{2k}\int \frac{[f(x)+k]-[f(x)-k]}{x^n+a}dx \)

\(=\frac{1}{2k}(\int \frac{f(x)+k}{x^n+a}dx+\int \frac{f(x)-k}{x^n+a}dx)\)

Việc chọn \( f(x) \) và \( k \) phụ thuộc vào mẫu số trong từng bài toán cụ thể

Ví dụ:

Cho nguyên hàm \(I=\int \frac{dx}{\cos^3x}=a.\frac{\sin x}{\cos^2 x}+b.\tan (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})+C\)

Tính \( a-b \)

Cách giải

Đặt \( t=\sin x \) ta có

\( \int  \frac{dx}{\cos^3x}=\int \frac{\cos x\; dx }{\cos^4 x}=\int \frac{dt}{(1-t^2)^2}\)

\(= \int \frac{1}{4}\int [\frac{(t-1)+(t+1)}{(t-1)(t+1)}]^2dt=\int \frac{1}{4}(\frac{1}{t+1}+\frac{1}{t-1})^2dt\)

\(= \int \frac{1}{4}(\frac{1}{(t+1)^2}+\frac{1}{(t+1)^2}+\frac{2}{t^2-1})dt\)

\(=-\frac{1}{4(t+1)}-\frac{1}{4(t-1)}+\int \frac{dx}{2\cos x}\)

\( =\frac{t}{2(1-t^2)}+\frac{1}{2}\tan (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})+C \)

\(=\frac{1}{2}.\frac{\sin x}{\cos^2 x}+\frac{1}{2}.\tan (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})+C\)

Vậy \(a=b=\frac{1}{2}\Rightarrow a-b=0\)

Dạng 3: Phân thức có bậc tử lớn hơn mẫu

Với dạng bài này chúng ta thực hiện phép chia đa thức ở tử số cho mẫu số rồi tiếp tục xử lý phần dư

Ví dụ:

Cho hàm số \(f(x)=x^2+ax+ln|bx+1|+c\). Biết rằng \(f'(x)=\frac{4x^2+4x+3}{2x+1}\) và \( f(0)=1 \)

Tính \( a+b+c \)

Cách giải:

Ta có

\(\frac{4x^2+4x+3}{2x+1}=\frac{(2x+1)^2+2}{2x+1}=2x+1+\frac{1}{2x+1}\)

Vậy

\(f(x)=\int \frac{4x^2+4x+3}{2x+1}dx=x^2+x+\ln|2x+1|+c\)

\(\Rightarrow a=1;b=2\)

Vì \(1=f(0)=c\Rightarrow c=1\)

Vậy \( a+b+c=4 \)

Bài tập nguyên hàm trắc nghiệm có lời giải

Dưới đây là một số bài tập nguyên hàm trắc nghiệm có lời giải giúp các bạn củng cố kiến thức:

Bài 1

Cho nguyên hàm \(I=\int \frac{\ln x + e^{\ln x}}{x}dx=a.\ln^bx+e^{\ln x}+C\)

Tính \( 2a+b \)

A. \( 1 \)

B. \( 2 \)

C. \( 3 \)

D. \( 4 \)

 \(\Rightarrow\) C

Bài 2

Cho nguyên hàm \( I=\frac{dx}{\sin x +\tan x }=a.\ln|\tan\frac{ x}{2}|-b.\tan^2\frac{x}{2}+C  \)

Tính \( a+2b \)

A. \( -1 \)

B. \( -\frac{1}{2} \)

C. \( 0 \)

D. \( \frac{1}{2} \)

\(\Rightarrow\) C

Bài 3

Cho nguyên hàm \(I=\frac{4x^3-2x^2+2x+2}{2x-1}dx=ax^3+x^2+b\ln|2x-1| +C\) và các mệnh đề sau

A. \(a<b\)

B. \(a+b=\frac{16}{3}\)

C. \( a,b \) là các số nguyên dương

D. \( ab=1 \)

Số mệnh đề đúng là

A. \( 1 \)

B. \( 2 \)

C. \( 3 \)

D. \( 4 \)

\(\Rightarrow\) C

Bài 4

Cho nguyên hàm \(I=\frac{(2x+1)e^x+2x}{e^x+1}=ax^2+bx+\ln(e^x+c)\)

Tính \( ab+c \)

A. \( -1 \)

B. \( -\frac{1}{2} \)

C. \( 1 \)

D. \( 2 \)

\(\Rightarrow\) C

Bài 5

Cho nguyên hàm \(I=\int \frac{1-x^5}{x(1+x^5)}dx=a(\ln|x^5|+b\ln|1+x^5)+C)\)

Tính \( ab \)

A. \(\frac{2}{5}\)

B. \(\frac{4}{5}\)

C. \(\frac{-2}{5}\)

D. \(\frac{-4}{5}\)

\(\Rightarrow\) C

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã hướng dẫn bạn các phương pháp tính nguyên hàm cũng như cách làm bài tập nguyên hàm chống Casio. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề các dạng bài tập nguyên hàm. Chúc bạn luôn học tốt!