Lý thuyết số phức là gì?
Định nghĩa số phức là gì?
Biểu thức dạng \(a+bi\) với \(a;b∈R\) và \(i^2=−1\) được gọi là một số phức với a là phần thực và b là phần ảo.
Xem chi tiết >>> Số phức là gì? Tìm hiểu các phép toán với số phức
Mô đun của số phức
Mô đun của số phức \(z=a+bi\) là số thực không âm \(\sqrt{a^2+b^2}\) và được kí hiệu là \(|z|\)
Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:
Bài toán tìm GTLN GTNN của số phức
Để giải quyết các bài toán tìm GTLN, GTNN của số phức (min max số phức), ta cần sử dụng một số Bất đẳng thức quan trọng sau đây :
Bất đẳng thức Cauchy
\(x+y \geq 2\sqrt{xy }\) với \(x;y≥0\)
Dấu \(“=”\) xảy ra khi \(x=y≥0\)
Bất đẳng thức Bunhiacopxki
\((a^2+b^2)(m^2+n^2)\geq (am+bn)^2\)
Dấu \(“=”\) xảy ra khi \(\frac{a}{m}=\frac{b}{n}\)
Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
\(||z_1|-|z_2|| \leq |z_1 \pm z_2| \leq |z_1|+|z_2|\)
Cách tìm GTLN GTNN trong min max số phức
Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
Với những dạng bài min max số phức này, từ điều kiện đã cho, chúng ta sử dụng các Bất đẳng thức nêu trên (thường sử dụng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối) để giải quyết
Ví dụ:
Cho số phức z thỏa mãn : \(|z-2+2i|=1\). Tìm giá trị lớn nhất của \(|z|\)
Cách giải:
Áp dụng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối, ta có :
\(1=|z-2+2i|\geq |z|-|2i-2| \Leftrightarrow |z| \leq 1+|2i-2| = 1+2\sqrt{2}\)
Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
Để giải dạng toán min max số phức của một biểu thức số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, chúng ta giải theo các bước sau :
- Bước 1: Gọi số phức \(z=a+bi\) với \(a;b∈R\)
- Bước 2: Thay vào biểu thức đã cho và tìm mối quan hệ giữa a;b
- Bước 3: Biến đổi biểu thức cần tìm GTLN, GTNN theo a;b
- Bước 4: Tìm GTLN, GTNN dựa vào quan hệ a;b
Ví dụ:
Cho hai số phức \(z_1;z_2\) thỏa mãn \(z_1+z_2|=3\) và \(|z_1-z_2| = 1\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=|z_1| + |z_2|\)
Cách giải:
Đặt \(z_1=a_1+b_1i ; z_2=a_2+b_2i\). Thay vào ta được :
\(\left\{\begin{matrix} |(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i|=3\\ |(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i|=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2=9\\ (a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2=1 \end{matrix}\right.\)
Khai triển, cộng hai phương trình ta được :
\(a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2=5\)
Ta có:
\(|z_1|+|z_2| = \sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}\)
Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
\(P^2 = (1.\sqrt{a_1^2+b_1^2}+1.\sqrt{a_2^2+b_2^2})^2\leq (1+1).(a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2)=10\)
\(\Rightarrow P \leq \sqrt{10}\)
Tìm GTLN, GTNN của số phức bằng Casio
Trong các bài toán trắc nghiệm, để tìm min max số phức, ta sử dụng máy tính Casio để giải theo các bước sau :
- Bước 1: Gọi số phức \(z=x+yi\) với \(x;y∈R\)
- Bước 2: Thay vào điều kiện ban đầu, rút y theo x. Tìm khoảng xác định của x
- Bước 3: Thay vào biểu thức cần tính GTLN, GTNN rồi đưa biểu thức về dạng hàm số của x
- Bước 4: Sử dụng tính năng TABLE của máy tính để tìm GTLN, GTNN của hàm số.
Ví dụ:
Cho số phức z thỏa mãn \(|z|=5\). Tìm GTLN, GTNN của biểu thức : \(P=3|z-2|+|z-3i|\)
Cách giải
Đặt \(z=x+yi\)
Vì |\(|z|=5 \Rightarrow a^2+b^2=25 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=\sqrt{25-x^2}\\ a\in [-5;5] \end{matrix}\right.\)
Thay vào ta được:
\(P=3|z-2|+|z-3i|=3\sqrt{(x-2)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-3)^2}\)
\(=3\sqrt{(x-2)^2+25-x^2}+\sqrt{x^2+(\sqrt{25-x^2}-3)^2}\)
Vậy ta cần tìm GTLN,GTNN của hàm số \(f(x)=3\sqrt{(x-2)^2+25-x^2}+\sqrt{x^2+(\sqrt{25-x^2}-3)^2}\) với \(x∈[−5;5]\)
Ta vào tính năng TABLE của máy tính bằng cách bấm \(Mode→7\)
Ta nhập hàm số trên vào máy tính:
Start ta nhập −5
End ta nhập 5
Step ta nhập 0,5
Ta thấy hàm số đạt GTLN là \(26.83 = 21+\sqrt{34}\) khi \(x=−5\)
Ta thấy hàm số đạt GTNN là \(14.83 = 9+\sqrt{34}\) khi \(x=5\)
***Chú ý: Chúng ta làm tròn kết quả ở máy tính bằng cách thử từng đáp án trong đề thi xem kết quả giống với đáp án nào.
Các dạng bài tập số phức vận dụng cao
Đây là những bài toán chúng ta chuyển từ số phức sang biểu diễn hình học rồi tìm cực trị của các biểu thức hình học đó.Nhắc lại về một số biểu diễn hình học của số phức:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , mỗi số phức \(z=a+bi\) với \(a;b∈R\) được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ là (a;b)
Như vậy ta có một số tính chất:
- \(OM = \sqrt{a^2+b^2} =|z|\)
- \(M_1M_2=\sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2}=|z_1-z_2|\)
Tùy thuộc bài toán thì chúng ta có thể chuyển về phương trình đường thẳng, phương trình Elip hay đường tròn. Và từ đó, ta có một số công thức tính nhanh sau đây, áp dụng để giải các bài tập trắc nghiệm :
Bài toán: Cho số phức z thỏa mãn \(|z-z_1|+|z-z_2| = 2a\). Tìm GTLN, GTNN của biểu thức \(P=|z−z_0|\) với \(z_0;z_1;z_2\) cho trước
Ta có một số kết quả sau:
Đặt \(|z_1-z_2|=2c ; b=\sqrt{a^2-c^2}\) thì:
Ví dụ:
Cho số phức z thỏa mãn \(|z−1+3i|+|z+2−i|=8\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức :\(P=|2z+1+2i|\)
Cách giải:
Ta có:
\(\frac{P}{2}=|z+\frac{1}{2}+i|\)
Mặt khác \(\frac{1}{2}+i=\frac{(-1+3i)+(2-i)}{2}\)
Vậy trong bài toán này \(z_0=\frac{z_1+z_2}{2}\)
\(c=\frac{|z_1-z_2|}{2}=\frac{5}{2}\)
\(a=4\Rightarrow b=\sqrt{a^2-c^2}=\frac{\sqrt{39}}{2}\)
Áp dụng công thức trên ta được:
\(P_{\max}=2a=8\)
\(P_{\min}=2b=\sqrt{39}\)
Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải bài toán tìm Min Max số phức. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề Min Max số phức. Nếu có bất cứ câu hỏi, thắc mắc hay đóng góp gì liên quan đến chủ đề Min Max số phức, đừng quên để lại nhận xét bên dưới nhé. Nếu thấy hay thì share nha bạn! Chúc bạn luôn học tốt!.
Xem thêm: