Số phức nghịch đảo là một tính chất quan trọng trong chuyên đề số phức của chương trình toán học đại số lớp 12. Vậy số phức dạng nghịch đảo là gì? Tính chất và các dạng bài tập trong phần kiến thức này như nào? Cách giải kiến thức này bằng máy tính cầm tay ra sao? Hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu và tổng hợp về phần kiến thức này qua bài viết dưới đây nhé!
Tổng hợp kiến thức số phức nghịch đảo
Như đã biết, số phức là một biểu thức có dạng\(a+bi(i^{2}=-1)\), là những số thực và được ký hiệu là một số z: \(z=a+bi\).
Định nghĩa số phức nghịch đảo là gì?
Có thể nói, số phức dạng nghịch đảo, hay nghịch đảo của số phức z (kí hiệu là \(z^{-1}\) là số phức có dạng sao cho tích của số phức nghịch đảo với số phức z là bằng 1).
Lý thuyết số phức nghịch đảo
Dễ dàng chứng minh: \(z^{-1}=\frac{1}{\left | z \right |^{2}} \bar{z}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}(a-bi)\)
Suy ra: \(z^{-1}.z=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}(a-bi)(a+bi))=\frac{a^{2}-b^{2}i^{2}}{a^{2}+b^{2}}=1\)
- Số phức dạng nghịch đảo của số phức \(z=a+bi\) là số phức \(z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}\)
- Số nghịch đảo của số phức \(z=a+bi\) khác 0 là số \(z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{\left | z \right |^{2}}\)
Bài tập về số phức nghịch đảo
Bài 5 – Trang 144 SGK giải tích 12
Biết rằng nghịch đảo của số phức \(z\) bằng với số phức liên hợp của nó. Trong các kết luận sau đây, kết luận nào là đúng?
A.\(z\epsilon \mathbb{R}\)
B.\(\left | z \right |=1[/latex ]
C.[latex]z\) là một số thuần ảo
D.\(\left | z \right |=-1\)
Lời giải:
Với yêu cầu bài toán, ta sẽ có như sau:
\(\frac{1}{z}=\bar{z}\Rightarrow z.\bar{z}=1\Leftrightarrow \left | z \right |^{2}=1\Leftrightarrow \left | z \right |=1\)
Vậy \(\left | z \right |=1\)
Như vậy, ta sẽ chọn đáp án (B)
Bài 6 – Trang 144 SGK giải tích 12
Tìm số nghịch đảo của \(z=10+8i\)
Giải: \(z^{-1}=\frac{1}{10+8i}=\frac{1(10-8i)}{(10+8i)(10-8i)}=\frac{10-8i}{10^{2}+8^{2}}=\frac{10-8i}{164}=\frac{5}{82}-\frac{2}{41}i\)
Cách giải số phức nghịch đảo bằng máy tính cầm tay Casio
Ví dụ: Đề bài yêu cầu tìm nghịch đảo của các số phức sau
\(a)\sqrt{2}-i\sqrt{3}\)
\(b)\frac{1-i\sqrt{3}}{7+2i}\)
Lời giải:
Thực hiện tính toán trên máy tính Casio fx-570E với quy trình bấm phím như sau:
- Chọn chương trình tính toán số phức
Bấm MODE 2
- Viết vào màn hình máy tính của bạn: \((\sqrt{2}-i\sqrt{3})^{-1}\)
Bấm phím \(=\) ta được kết quả là \(\frac{\sqrt{2}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}i\)
Vậy có số phức dạng nghịch đảo của \((\sqrt{2}-i\sqrt{3})^{-1}\) là \(\frac{\sqrt{2}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}i\)
Thực hiện tương tự với ý b) và các bài tập khác.
Trên đây là những kiến thức hữu ích về khái niệm, tính chất cũng như cách giải một số bài tập về số phức. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn những thông tin cần thiết cho quá trình học tập và nghiên cứu toán học của bản thân. Nếu có bất cứ câu hỏi nào liên quan đến chủ đề bài viết số phức nghịch đảo, mời bạn để lại nhận xét để cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu thêm nhé!
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:
(Nguồn: www.youtube.com)
Xem thêm:
- Cách tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang của hàm số nhanh nhất!
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Một số dạng toán và Cách giải
- Phương pháp giải bài toán tìm min max số phức cùng các dạng bài tập
- Tính đơn điệu của hàm số là gì? Tính đơn điệu của hàm số bậc 4 và hàm số lượng giác
