Lý thuyết hệ tọa độ trong mặt phẳng Oxy
Hệ tọa độ trong mặt phẳng là gì?
Hệ gồm 2 trục \(Ox, Oy\) vuông góc với nhau được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc \(Oxy\) trong mặt phẳng với :
- \(Ox\) là trục hoành
- \(Oy\) là trục tung
Phương trình đường thẳng là gì?
Định nghĩa phương trình đường thẳng là gì?
Cách viết phương trình đường thẳng
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
- Hai điểm bất kì \(A(x_a;y_a)\);\(B(x_b;y_b)\) với \(x_a≠x_b\) và \(y_a≠y_b\)
\(\frac{x-x_a}{x_b-x_a}=\frac{y-y_a}{y_b-y_a}\)
- Hai điểm có cùng hoành độ \(A(m;y_a); B(m;y_b)\)
\(x=m \Leftrightarrow x-m=0\)
- Hai điểm có cùng tung độ \(A(x_a;m); B(x_b;m)\)
\(y=m \Leftrightarrow y-m=0\)
- Hai điểm thuộc hai trục tọa độ \(A(a;0); B(0;b)\) với \(a;b≠0\)
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) ( Phương trình đoạn chắn )
Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) có hệ số góc \(k\)
\(y−y_0=k(x−x_0)\)
Phương trình đường thẳng \(Δ \)đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với đường thẳng \(d:Ax+By+C=0\) cho trước
\(\Delta \parallel d : Ax+By+C’=0\)
\(\Delta \bot d : -Bx+Ay+m =0\)
Phương trình đường tròn là gì?
Phương trình tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn
Cho điểm \(M(x_0;y_0)\) nằm trên đường tròn \((C):(x−a)^2+(y−b)^2=R^2\). Khi đó phương trình đường thẳng tiếp xúc với \((C)\) tại \(M\) là :
\((x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0\)
Chu vi đường tròn : \(C=2\pi R\)
Diện tích hình tròn : \(S=\pi R^2\)
Xem chi tiết >>> Phương trình đường tròn qua phép tịnh tiến
Xem chi tiết >>> Phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng
Xem chi tiết >>> Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng
Phương trình đường Elip là gì?
Xem chi tiết >>> Phương trình Elip là gì? Tìm hiểu phương trình Elip
Phương pháp giải toán tọa độ trong mặt phẳng
Các bài toán liên quan đến đường thẳng
Dạng bài viết phương trình đường thẳng
Chúng ta sử dụng các công thức ở phần trên để lập phương trình đường thẳng dựa vào các dữ kiện của đề bài
Ví dụ
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) có \(A(-2;1); B(2;3); C(1;-5)\). Viết phương trình đường phân giác trong của góc \(\widehat{ABC}\)
Cách giải
Áp dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua hai điểm bất kì ta có :
Phương trình đường thẳng \(AB: \frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{2}\Leftrightarrow x-2y+4=0\)
Phương trình đường thẳng \(AC : \frac{x+2}{3}=\frac{y-1}{-6}\Leftrightarrow 2x+y-3=0\)
Vậy áp dụng công thức phương trình đường phân giác ta có: phương trình đường phân giác trong của góc \(\widehat{ABC}\) là:
\(\frac{x-2y+4}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{2x+y-3}{\sqrt{2^2+1^2}}\)
\(\Leftrightarrow x+3y-7=0\)
Dạng bài về khoảng cách
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) và cách điểm \(A(x_A;y_A)\) một khoảng bằng \(h\) cho trước.
Ví dụ
Lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(3;4)\) và cách điểm \(B(−1;1)\) một khoảng bằng 4
Cách giải
Vì \(A(3;4)∈d⇒\) phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) có dạng :
\(a(x−3)+b(y−4)=0\)
Khi đó:
\(4=d(B,d)=\frac{|-4a-3b|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Leftrightarrow 16(a^2+b^2)=16a^2+24ab+9b^2\)
\(\Leftrightarrow 7b^2=24ab \Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{7}{24}\)
Chọn \(\left\{\begin{matrix} a=7\\ b=24 \end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là :
\(3(x-3)+24(y-4) =0\)
\(\Leftrightarrow 3x+24y-105=0\)
Dạng bài về góc khi viết phương trình đường thẳng
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) và tạo với đường thẳng \(d′:Ax+By+C=0\) một góc bằng \(α\)
Ví dụ
Cho đường thẳng \(Δ:3x−2y+1=0\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;2)\) và tạo với \(Δ\) một góc \(45^∘\)
Cách giải
Vì \(M(1;2)∈d⇒\) phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) có dạng :
\(a(x−1)+b(y−2)=0\)
Khi đó ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos (d,\Delta)=\frac{|3a-2b|}{\sqrt{3^2+2^2}.\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Leftrightarrow 13(a^2+b^2)=2(9a^2-12ab+4b^2)\)
\(\Leftrightarrow 5a^2-24ab-5b^2=0\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{a}{b}=-\frac{1}{5}\\ \frac{a}{b}=5 \end{matrix}\right.\)
Vậy ta chọn \(\left[\begin{array}{l} (a;b)=(1;-5)\\(a;b)=(5;1) \end{array}\right.\)
Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là :
\(\left[\begin{array}{l} x-1-5(y-2)=0\\5(x-1)+y-2=0 \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x-5y+9=0\\5x+y-7=0 \end{array}\right.\)
Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến đường tròn
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M(x_0;y_0)\) trên đường tròn
Phương trình tiếp tuyến qua điểm \(N(x_N;y_N)\) nằm ngoài đường tròn
Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Ví dụ
Viết phương trình tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \((C):x^2+y^2+8x+4y−5=0\) và đi qua điểm \(A(1;2)\).
Cách giải
\((C): x^2+y^2+8x+4y-5=0 \Leftrightarrow (x+4)^2+(y+2)^2=5^2\)
Vậy đường tròn \((C)\) có tâm \(I(−4;−2)\) và bán kính \(R=5\)
Vì \(A(1;2)\in d \Rightarrow d: a(x-1)+b(y-2)=0\)
Do \(d\) tiếp xúc với \((C)\) nên ta có :
\(5=d(d,(C))= \frac{|-5a-4b|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} b=0\\9b^2=20ab \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} b=0\\\frac{a}{b}=\frac{9}{20} \end{array}\right.\)
Ta chọn:
\(\left[\begin{array}{l} (a;b)=(1;0)\\ (a;b)=(9;20) \end{array}\right.\)
Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là :
\(x−1=0\) hoặc \(9x+20y−49=0\)
Các bài toán liên quan đến phương trình Elip
Dạng bài viết phương trình Elip
Dạng bài tìm giao điểm giữa đường thẳng và Elip
Dạng bài tìm điểm trên Elip thỏa mãn điều kiện
Với dạng bài này ta sử dụng các tính chất sau:
Ví dụ
Cho elip \((E): \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1\) .Tìm tất cả các điểm M trên (E) sao cho \(\widehat{F_1MF_2}=60^{\circ}\)
Cách giải
Tọa độ hai tiêu điểm của (E) là :
\(\left\{\begin{matrix} F_1 (-\sqrt{21};0)\\ F_2 (\sqrt{21};0) \end{matrix}\right.\)
Giả sử \(M(a;b)∈(E)\) thỏa mãn \(\widehat{F_1MF_2}=60^{\circ}\)
Khi đó ta có :
\(F_1F_2^2 = MF_1^2+MF_2^2-2MF_1MF_2.\cos \widehat{F_1MF_2}\)
\(\Leftrightarrow 84=(a-\sqrt{21})^2+(a+\sqrt{21})^2+2b^2-\sqrt{(a-\sqrt{21})^2+b^2}.\sqrt{(a+\sqrt{21})^2+b^2}\)
\(\Leftrightarrow 84 = 2a^2+2b^2+42-\sqrt{(a^2-21)^2+b^4+b^2(2a^2+42)}\)
\(\Leftrightarrow 2a^2+2b^2-\sqrt{(a^2-21)^2+b^4+b^2(2a^2+42)}=42 \hspace{1cm} (1)\)
Vì \(M∈(E)\) nên ta có :
\(\frac{a^2}{25}+\frac{b^2}{4}=1\Leftrightarrow 4a^2+25b^2=100\)
\(\Leftrightarrow a^2=25-\frac{25b^2}{4}\)
Thay vào (1) giải phương trình một ẩn \(b^2\) ta được \(b^2=\frac{16}{21}\)
\(\Rightarrow a^2 =\frac{25.17}{21}\)
Vậy có 4 điểm M thỏa mãn là :
\((\frac{5\sqrt{17}}{\sqrt{21}};\frac{4}{\sqrt{21}}) ;(-\frac{5\sqrt{17}}{\sqrt{21}};\frac{4}{\sqrt{21}});(\frac{5\sqrt{17}}{\sqrt{21}};-\frac{4}{\sqrt{21}});(-\frac{5\sqrt{17}}{\sqrt{21}};-\frac{4}{\sqrt{21}})\)
Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng khó và nâng cao
Dạng bài toán về các đường trong tam giác
Ví dụ
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) với điểm \(A(1;1)\) . Các đường cao hạ từ \(B,C\) lần lượt có phương trình là \(d_1:2x−y+8=0;d_2:2x+3y−6=0\) . Tìm tọa độ B,C và viết phương trình đường cao kẻ từ A
Cách giải
Ta có :
\(d_1 \bot AC \Rightarrow AC : (x-1)+2(y-1)=0\)
\(\Leftrightarrow x+2y-3=0\)
\(C=AC\cap d_2\Rightarrow\) tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình :
\(\left\{\begin{matrix} x+2y-3=0\\ 2x+3y-6=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3\\ y=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow C(3;0)\)
Tương tự ta có \(B(−17;26)\)
Từ đó ta có phương trình đường thẳng BC
\(\frac{x-3}{-20}=\frac{y}{26}\Leftrightarrow 13x+10y+39=0\)
Do đó phương trình đường cao từ A là :
\(10(x-1)-13(y-1)=0\Leftrightarrow 10x-13y+3-0\)
Dạng bài tập phương trình đường thẳng có tham số
Ví dụ
Cho hai đường thẳng \(\left\{\begin{matrix} d_1: mx+(m-1)y+5m =0 \\ d_2: mx+(m-1)y +2=0 \end{matrix}\right.\). Tìm m để khoảng cách giữa hai đường thẳng là lớn nhất.
Cách giải
Dễ thấy
\(d_1 \)luôn đi qua điểm \(M(−5;0)\)
\(d_2\) luôn đi qua điểm \(N(−2;2)\)
Mặt khác
\(d(d_1,d_2)\leq MN\)
Nên để khoảng cách là lớn nhất thì \(MN \bot d_1\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}. \overrightarrow{d_1}=0\Leftrightarrow 3m+2(m-1)=0\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{2}{5}\)
Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết, một số dạng toán cũng như cách giải của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem thêm >>> Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian
Xem thêm >>> Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba