Chuyên đề hai mặt phẳng vuông góc
Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc là gì?
Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì góc giữa chúng bằng 90∘
\((P)\perp (Q)\Leftrightarrow (\widehat{(P),(Q)})=90^{\circ}\)
Điều kiện để 2 mặt phẳng vuông góc
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi trong mặt phẳng này và có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
\(\left\{\begin{matrix} d& \perp (Q)& \\ d&\subset (P) & \end{matrix}\right. \Rightarrow (P)\perp (Q)\)
Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc
- Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
\(\left\{\begin{matrix} (P) &\perp (Q) & \\ a & \subset (P) & \\ (P) & \cap (Q)= & b\\ a&\perp b& \end{matrix}\right. \Rightarrow a\perp (Q)\)
- Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau và thì đường thẳng a qua A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).
\(\left\{\begin{matrix} (P) &\perp (Q) & \\ A& \in (P) & \\ A& \in & a\\ a&\perp (Q)& \end{matrix}\right. \Rightarrow a\subset (P)\)
- Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
\(\left\{\begin{matrix} (P) &\cap (Q) =a& \\ (P)& \perp (R) & \\ (Q)& \perp (R) & \\ \end{matrix}\right. \Rightarrow a\perp (R)\)
Hai mặt phẳng vuông góc trong không gian Oxyz
Phương trình tổng quát mặt phẳng trong không gian Oxyz
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz có dạng:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \(A^{2}+B^{2}+C^{2}> 0\)
Do đó muốn viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta phải cần xác định được 2 dữ kiện:
- Điểm M bất kì mà mặt phẳng đã đi qua
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng
Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc trong không gian Oxyz
Cho 2 mặt phẳng (𝑃): \((Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0\) và \((Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0\)
thì ta có 2 mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: \(AA’+BB’+CC’+DD’=0\)
Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau
- Cách 1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
- Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng là 90∘.
Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (𝛼)
- Cách 1: Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến (nếu có) của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng này.
- Cách 2: Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau, khi một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Kết quả:
- 𝑆′=𝑆𝑐𝑜𝑠𝜑
- Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, điểm A thuộc mặt phẳng (P) thì mọi đường thẳng qua A và vuông góc với (Q) đều nằm trong (P).
Các dạng bài tập hai mặt phẳng vuông góc
Bài tập hai mặt phẳng vuông góc cơ bản
Cho hình chóp \(S_{ABC}\) có đáy ABC là tam giác vuông tại B, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Chứng minh rằng: \((SAB) \perp (SBC), (AHK) \perp (SBC)\)
Cách giải:
- Chứng minh (𝑆𝐴𝐵)⊥(𝑆𝐵𝐶):
Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau, ta chứng minh trong mặt phẳng này có 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Ta có: Tam giác ABC vuông tại B ⇒𝐴𝐵⊥𝐵𝐶(1).
𝑆𝐴⊥(𝐴𝐵𝐶)⇒𝑆𝐴⊥𝐵𝐶(2).
Từ (1) và (2) ⇒𝐵𝐶⊥(𝑆𝐴𝐵),𝐵𝐶⊂(𝑆𝐵𝐶)⇒ (𝑆𝐴𝐵)⊥(𝑆𝐵𝐶)
(đpcm).
- Chứng minh(𝐴𝐻𝐾)⊥(𝑆𝐵𝐶):
Ta có: 𝐵𝐶⊥(𝑆𝐴𝐵)⇒𝐵𝐶⊥𝐴𝐻(3).
H là hình chiếu vuông góc của A (gt) ⇒𝑆𝐵⊥𝐴𝐻(4).
Từ (3) và (4) ⇒𝐴𝐻⊥(𝑆𝐵𝐶),𝐴𝐻⊂(𝐴𝐻𝐾)⇒(𝐴𝐻𝐾)⊥(𝑆𝐵𝐶) (đpcm).
Như vậy, bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề hai mặt phẳng vuông góc. Chúc bạn luôn học tốt!