Nguyên hàm là gì?
Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \((a;b)\) nếu \(F′(x)=f(x)\)
Ví dụ:
- Hàm số \(y=x2\) là nguyên hàm của hàm số \(y=2x\) trên \(\mathbb{R}\) vì \((x^{2})’ = 2x\)
- Hàm số \(y = \ln x\) là nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{x}\) trên \((0,+∞)\) vì \((\ln x)’ = \frac{1}{x}\)
Tính chất của nguyên hàm
- \((∫f(x)dx)′=fx\)
- \(∫a.f(x)dx=a.∫f(x)dx\)
- \(∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx\)
Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ và mở rộng
| Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp |
Nguyên hàm của các hàm số hợp u = u(x) |
|
| Lũy thừa | ∫dx=x+C | ∫du=u+C |
| ∫xadx=xa+1a+1+C | ∫uadx=ua+1a+1+C | |
| Mũ logarit | ∫dxx=ln|x|+C(x≠0) | ∫duu=ln|u|+C(x≠0) |
| ∫exdx=ex+C | ∫eudx=eu+C | |
| ∫axdx=axlna+C(0<a≠1) | ∫audu=aulna+C(0<a≠1) | |
| Lượng giác | ∫cosxdx=sinx+C | ∫cosudu=sinu+C |
| ∫sinxdx=–cosx+C | ∫sinudu=–cosu+C | |
| ∫dxsinx=ln∣∣tanx2∣∣+C | ∫dusinu=ln∣∣tanu2∣∣+C | |
| ∫dxcosx=ln∣∣tan(x2+π4)∣∣+C | ∫ducosu=ln∣∣tan(u2+π4)∣∣+C | |
| ∫dxcos2x=tanx+C | ∫ducos2u=tanu+C | |
| ∫dxsin2x=–cotx+C | ∫dusin2u=–cotu+C | |
| ∫cotxdx=ln|sinx|+C | ∫cotudu=ln|sinu|+C | |
| ∫tanxdx=−ln|cosx|+C | ∫tanudu=−ln|cosu|+C | |
| Căn thức | ∫dxx√=2x−−√+C | ∫duu√=2u−−√+C |
| ∫x−−√ndx=nn+1xn+1−−−−√n+C | ∫u−−√ndu=nn+1un+1−−−−√n+C | |
| ∫dxx2±a√=ln∣∣x+x2±a−−−−−√∣∣+C | ∫duu2±a√=ln∣∣u+u2±a−−−−−√∣∣+C | |
| ∫dxa2–x2√=arcsinxa+C | ∫dua2–u2√=arcsinua+C | |
| ∫xdxx2±a2√=x2±a2−−−−−−√+C | ∫uduu2±a2√=u2±a2−−−−−−√+C | |
| ∫x2±a2−−−−−−√dx=x2x2+a2−−−−−−√±a2ln∣∣x+x2±a2−−−−−−√∣∣+C | ∫u2±a2−−−−−−√du=u2u2+a2−−−−−−√±a2ln∣∣u+u2±a2−−−−−−√∣∣+C | |
| Phân thức hữu tỷ | ∫dxx2=−1x+C | ∫duu2=−1u+C |
| ∫dxxn=−1(n–1)xn–1+C | ∫duun=−1(n–1)un–1+C | |
| ∫dxx2–a2=12aln∣∣x–ax+a∣∣+C | ∫duu2–a2=12aln∣∣u–au+a∣∣+C | |
| ∫dxx2+a2=1aarctanxa+C | ∫duu2+a2=1aarctanua+C | |
| ∫xdxx2±a2=12ln∣∣x2±a2∣∣+C | ∫uduu2±a2=12ln∣∣u2±a2∣∣+C |